2015考研高数

考研数学高数基础知识

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第二讲: 单元一: 定义求导

导数及应用

f(x)cosx 1

[ [f(x)cosx]'x 0 2]

x 0x

f(x)(cosx 1) f(x) f(0)

[lim 1 0 f'(0) 2]

x 0x

1. 设f(0) 1,f'(0) 2, 求: lim

2. 设f x 可导, f 0 1,f' 0 0, 求: lim

x 0

f(sinx) 1

lnf(x)

[lim

x 0

f(sinx) f(0)x 0sinx

1]

sinx 0lnf(x) lnf(0)x

3. 设lim

x a

f(x) bsinf(x) sinb. A, 求: lim

x ax ax a

sinf(x) sinbf(x) b

Acosb]

x af(x) bx a

[lim

4. 设f(x 1) af(x),f'(0) b(a,b 0), 求: f'(1). [f'(1) lim

x 0

f(x 1) f(1)a[f(x) f(0)]

lim ab] x 0xx

5. 设f(1 x) 3f(1 x) 8x(1 sinx), 并且f(x)可导, 求f'(1).

[f(1) 0,f'(1) 3f'(1) lim

x 0

8x(1 sinx)f(1

第六讲 几类常微分方程的求解方法7-1 一阶微分方程的解法 (P411) 一. 方法指导1. 标准类型方程的解法

关键 : 辨别方程类型 , 掌握求解步骤(1) 可分离变量方程

解法: 分离变量 , 两边积分(2) 齐次方程

解法: 令

化成可分离变量型

(3) 一阶线性方程 解法: 常数变易法或代公式

(4) 贝努力方程 解法: 令 化成线性方程 .

(5) 全微分方程

解法: 求

Q P x y通解为

的原函数

二. 非标准类型方程的解法1、 变量代换法 转化为标准类型求解

例如, 方程

a b a x b y c 0 的根 (h , k ) , 若 , 先求 a1 b1 a1 x b1 y c 1 0 作变换 x X h , y Y k , 则原方程化为 dY a X bY (齐次方程) d X a1 X b1Y a b 若 , 作变换 v a x b y , 化成可分离变量 a1 b1方程.4

2、 积分因子法

不是全微分方程选择积分因子

( x, y)

P d x Q d y 0 为全微分方程常用的微分倒推式有

1) d x d y d ( x

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1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0

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1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0

第六讲 几类常微分方程的求解方法7-1 一阶微分方程的解法 (P411) 一. 方法指导1. 标准类型方程的解法

关键 : 辨别方程类型 , 掌握求解步骤(1) 可分离变量方程

解法: 分离变量 , 两边积分(2) 齐次方程

解法: 令

化成可分离变量型

(3) 一阶线性方程 解法: 常数变易法或代公式

(4) 贝努力方程 解法: 令 化成线性方程 .

(5) 全微分方程

解法: 求

Q P x y通解为

的原函数

二. 非标准类型方程的解法1、 变量代换法 转化为标准类型求解

例如, 方程

a b a x b y c 0 的根 (h , k ) , 若 , 先求 a1 b1 a1 x b1 y c 1 0 作变换 x X h , y Y k , 则原方程化为 dY a X bY (齐次方程) d X a1 X b1Y a b 若 , 作变换 v a x b y , 化成可分离变量 a1 b1方程.4

2、 积分因子法

不是全微分方程选择积分因子

( x, y)

P d x Q d y 0 为全微分方程常用的微分倒推式有

1) d x d y d ( x

第一篇 微积分

第一章 函数、极限与连续 强化训练（一） 一、 选择题 1.

2. 提示：参照“例1.1.5”求解。 3.

4. 解因选项(D)中的??不能保证任意小，故选(D) 5.

6.

7.

8.

9.

10.

二、

填空题

211. 提示：由cosx?1?2sin12.

x可得。 2

13.提示：由1未定式结果可得。

14.提示：分子有理化，再同除以n即可。

15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。 16.

?

17.

18.

19.解因

x?0limf?x??lim??x?02(1?cosx)2?2cosx?lim?limx?0?x?0?xx12?x2?x2?lim??1 x?0?xxx?0xlimfx?limae?a， ????x?0而f?0??a，故由f?x?在x?0处连续可知，a??1。

20.提示：先求极限（1型）得到f?x?的表达式，再求函数的连续区间。

?三、 21.(1)

解答题

(2) 提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理sin(3)

12,sin。 xx

(4)

(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。 (6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。 22.

23.解由题设极限等式条件得

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2010考研强化班高等数学讲义主讲：汪诚义

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考研强化班高等数学讲义(四至五章)

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、 解、通解和特解 3、 初始条件

4、 齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dydx?p(x)Q(y)dy(Q(y)?0)

2、齐次方程：

?y??f?? dx?x?三、一阶线性方程及其推广

1、2、

dydxdydx?P(x)y?Q(x) ?P(x)y?Q(x)y?(??0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,满足?Q?x?p?y??P?y

2、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,?Q?x?但存在R(x,y)，使?(RQ)?x??(RP)?y

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五、差分方程（数学三）

第一章 函数 极限 连续

一．求极限方法小结

极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念.

有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.

1. 知识要点

（1）利用极限的定义求极限. （2）利用极限运算法则求极限. （3）利用不等式求极限. （4）利用变量代换法求极限. （5）利用两个重要极限求极限. （6）利用单调有界准则求极限. （7）利用函数的连续性求极限. （8）利用等价无穷小代换求极限. （9）利用单侧极限求极限.

（10） 利用罗必达法则求极限. （11） 利用导数定义求极限. （12） 利用定积分定义求极限. （13）

利用Taylor公式求极限.

2．典型例子

例1：设x1?2,x2?2?1x,?,x1n?1?2?,?1xn(答案：1?2)

例2：求lim?n???1??n2?1?1n2?2???1??n2?n????例3：求lim?1?n????1???1?n?111? ?(n2?1)2(nn?1)n??例4：求

lim1?3?5?(2n?1)n??2?4?6?2n 例5：求 lim??1?x????x?x2ln??1?x