指数运算和指数函数图像性质

第五讲 指数运算和指数函数

一、知识点

1.根式的性质

nan?

2.幂的有关概念

(1)正整数指数幂：an?a??a??a.............a(n?N?) ?????n?p(2)零指数幂a?1(a?0) (3)负整数指数幂 a?01(a?0.p?N?) pa(4)正分数指数幂 amn?nam(a?0,m,n?N?,且n?1)

mn(5)负分数指数幂 a??1amn(a?0,m,n?N?,且n?1)

(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)a?a?arrrsr?s,(a?0,r,s?Q) (2)(ar)s?ars,(a?0,r,s?Q)

s (3)(ab)?a?a,(a?0,b?0,r?Q)

4．指数函数定义：函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质

xy?ax 0 < a < 1 a > 1 图 象 定义域 性 质 值域 定点 单调性 对称性 y?ax和y?a?x关于 对称

1．函数y?(x?5)0?(x?2)

?12

（ ）

A．{x|x?5,x?2}

《指数函数的图像与性质》教学设计

一、教学目标

1．知识与技能

掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法

通过学生自主探究，让学生总结指数函数的图像与性质. 3．情感、态度、价值观

通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．

二、教学重难点

教学重点：指数函数的图像与性质

教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质.

三、教学方法：自主探究式 四、教学手段：多媒体教学 五、教学过程：

（一）创设情境 1、复习：

（1）指数函数的定义； （2）指数函数解析式的特征。

2、导入：一般来说，函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。 （二）自主探究

?1?1．画一画：用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数y?2x、y???的图像

?2? -2 -1 xx0 1 2 ?1?2．说一说：通过图像，分析y?2x、y???的性质；

?2?函数 定义域 值域 单调性 特殊点 y的分布情况 当x?0时， 当x?0时， 当x?0时，

一、教材的地位和作用

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

二、教学目标

知识目标：①掌握指数函数的概念；

②掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的规律和方法。

能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；

②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；

情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实

际背景；

②通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。

三、教学重难点

教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。

指数函数的

一、教材的地位和作用

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

二、教学目标

知识目标：①掌握指数函数的概念；

②掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的规律和方法。

能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；

②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；

情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实

际背景；

②通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。

三、教学重难点

教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。

指数函数的

1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①??

??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；

②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n a a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 1

0,,1)m

n m

n a a m n N n a -*==>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );

②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );

③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.

3．指数函数的图象与性质

n 为奇数 n 为偶数

2

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之

环县第五中学新生态课堂导学案

科目：数学 年级：高一级 备课人： 授课人： 课型：新授课 第 课时 授课日期： 第 周 星期 教研组长签字：

课题：§2.1.2 指数函数及其性质（1）

学习目标 1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；

2. 理解指数函数的概念和意义；

3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.

学习过程 一、课前准备 （预习教材P54~ P57，找出疑惑之处）

复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？

? . （1）a? ；（2）a? ；（3）a? ；a其中a?0,m,n?N*,n?1

复习2：有理指数幂的运算性质.

（1）am?an? ； （2）(am)n? ； （3）(ab)n? . 0?nmn?mn二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例：

A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4

指数与指数函数

要点梳理1. 根式的概念根式的概念

忆一忆知识要点

符号表示

备注

如果xn=a,那么 x 叫做 a 的n次方根. n为奇数时,正数的奇 次方根是正数;负数的奇次 方根是负数. n为偶数时,正数的偶 次方根有两个且互为相反 数.n

n>1,且 n∈N*.

a

零的n次方根是零

n a (a 0) 负数没有偶次方根

要点梳理2. 两个重要公式

忆一忆知识要点

公式 (1) ( a ) a.n n

适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.

②当n为大于1的偶数时, a≥0.公式 (2)n

a , n 2k 1, k N , a = | a |, n 2k , k N .

n

要点梳理3. 幂的有关概念 幂指数 正整数 指数

忆一忆知识要点

a a a a n

定义

条件

零指数 负整数 指数 正分数 指数 负分数 指数

a 10

n个a

n N ,a R

a 0n N ,a 0 m

a 1n a n

aa m n

m n

n

an

a>0,m,n N*,n>1a>0,m,n N*,n>1

1 m an

1 am

规定: 0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有

4.2.1 指数函数及其图像与性质

【教学目标】 1.知识与技能目标：

使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。 2.过程与方法目标：

在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思 维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。 3.情感态度与价值观：

让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。

【教学重、难点】

教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。 教学难点：指数函数性质的归纳与运用。

【教学方法】

我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。本节课概念性比较强，而且突出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动手能力、观察能力比较强。因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具，让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学课堂还给学生。

【教学过程】 1.流程 （1）教学流程：

创设情境 激发兴趣引出新知 形成概念深入探究 引导发现巩固提高 灵活运用归纳总结 新知梳理分层作业共同提高

篇一：《指数函数的图像和性质》教学反思

《指数函数的图像和性质》教学反思

晏伟峰

本节课节选自北师大版《数学》必修一第三章第三节内容。函数是高中数学学习的重点内容，函数思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了指数函数的概念和其运算性质，以及指数函数的图像和性质的基础上进一步巩固学生对所学知识的深化和理解，使学生得到较系统的研究指数函数的方法，同时为以后学习对数函数及等比数列打下基础。 本节重点：指数函数的图像、性质及其简单运用。

本节难点：指数函数图像和性质发现过程及指数函数图像与底的关系。

知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用。

能力目标：通过数学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想，以及从特殊到一般的数学学习方法，增强识图用图的能力。

情感目标：构建和谐课堂氛围，结合学生勇于提问，善于探索的思维品质。

教法分析及学法分析：从学生原有知识点出发，在教师带领下创设疑问，通过交流讨论，共同探索来逐步解决问题。

教学过程：

师：我们上节课讲了指数函数的图像及性质，请同学们完成教学案问题。（学生们动手完成如下表格：

师：我们昨天画了如下四个函数图像，请同学们动手在草

稿纸上做出他们的图像，再分析图像与底的关

指数函数、对数函数图像交点问题

反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，函数的反函数，本身也是一个函数。在实际教学过程中，我们除了从定义的角度把反函数讲解清晰之外，譬如：从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A到值域C的映射,它的反函数y=f-1（x）是集合C到集合A的映射，再结合函数的定义可知，只有一一映射的函数才存在反函数。我们还应该把握从抽象到直观，再从直观到抽象相结合的传授知识的基本原则，给学生的一个形象、直观的认识。正是基于这个原因，中学数学教材中引进了作为一种重要的函数和互为反函数的典型例子的指数函数、对数函数。

一、分析反函数的定义可知，原函数与反函数图像如果有交点，它们必然关于y=x对称；若原函数与直线y=x有交点，则反函数图像也必与y=x相交且交点重合。

为了验证上面的结论，我分别给了学生以下几个例子 （1）函数y(1,1)，且在y=x?2x?1与它的反函数y?12x?12图像只有一个交点

上。

1（2）函数

y?x3与它的反函数

y?x3的图像有三个交点

(?1,?1)、(0,0)、(1,1)，且都在y=x上。

（3）函数y?1x的反函数是它自身，故反比例函数与它的反函数

图像有无数个交点，其中有两