如何用计数原理证明二项式定理

计数原理和二项式定理预测题3——揭晓 十二、计数原理和排列组合

这里面的题目可以很难，但新教材注重实际问题，且考试控制难度。统计是求概率基本观点和核心思想，和计数原理是古典概型的基本工具，但不少学生每次计算古典概型，都想到排列和组合，忽略了计数两个基本原理，这里应该引起高度重视。

2016全国2卷理科第6题的排列组合知识的题是上述是吻合的。 十三、二项式定理

全国卷一直注重对基本知识和基本原理的考察，如下

42.（2013新课标2第5题）已知(1?ax)(1?x)5的展开式中x2的系数为5，则a?（ ）

（A）?4 （B）?3 （C）?2 （D）?1

a??1??43.（2012新课标第8题）?x???2x??的展开式中各项系数

x??x??的和为2，则该展开式中常数项为

A．-40 B．-20 C．20

D．40

544.（2015新课标1第10题）(x2?x?y)5的展开式中，x5y2的系数为

(A)10 (B)20 (C)30 (D)60

由两项变成了三项，依然是考察定理

第3讲 二项式定理

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【复习指导】

二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．

基础梳理

1．二项式定理

n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N)这个公式所表示的定理

叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的系数Crn(r＝0,1，?，n)叫二项式系数．

n－rrn－rr式中的Crb叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crb. nana

2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

－101n(4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cnn，Cn. 3．二项式系数的性质

n－r(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Crn＝Cn.

(2)增减性与最大值：

n＋1二项式系数Ck，当k＜n

2时，二项式系数逐渐增大．

2015 周日补课 17 期末复习【选修 2-3】计数原理与二项式定理 1.

7. )

在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每 人 2 张，不同的中奖情况有 种.(用数字作答) 60

14. 从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数个数 为( A. 24 )

6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(A. 144 B. 120 C. 72

D. 24

B. 18

C. 12

D. 6

8. 2. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ( )

用 0,1,2, ,9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数( A. 243

) D. 279 15. 将 2 名教师、 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 小组有 1 名老师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有( ) D. 8

B. 252

C. 261

A. 192 种

B. 216 种

C. 240 种

D. 288 种 9. 满足 a , b { 1,0,1,2} ,且关于 x 的方程 ax 2 x

专题十计数原理

第三十一讲二项式定理

答案部分

1.C【解析】T r 1 二C5(x2)5工(2)r=C52r x1°，r，由10-3r =4，得r =2，所以x4的系

x

数为C522 =40 .故选C.

1 1

2.C【解析】(1 ?飞)(1 ? x)6展开式中含x2的项为1 c2x2? — C；x4=30x2，故x2前系

x x

数为30,选C.

r 5 r r

3.C【解析】(2x-y)的展开式的通项公式为：「1 5(2X)一(-丫)，

二C

当r -3时，x(2x-y)5展开式中x3y3的系数为C；22(一1)3=-40 ,

当r=2时，y(2x—y)展开式中x y的系数为C5 2( -〔)=80 ,

所以x3y3的系数为80-40=40 ?选C.

4. A ［解析】通项T r d = C；x6_t i r(r = 0,1,2,…,6)，令r = 2 ,得含x4的项为C；x4i2 - -15x4,

故选A .

Q —J 5. D ［解析】因为(V x)n的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C n -C n ,

1 解得n =10,所以二项式(1 x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为—210=29.

2

6. C ［解析】由(x 1)^

说 课

《二项式定理》

二项式定理

说课流程图

一、 二、 三、 四、

1

课题所处地位 教材分析 教学目标、重点、难点及关键 教学方法的选择 教法分析 教学手段的选择 学法分析 新课导入 新课展开 教学程序 小 结 板书设计 二项式定理

课题：二项式定理

本节课的教学设计可分为以下四部分：教材分析、教法分析、学法分析和教学程序设计。

一、教材分析

1、课题所处位置与地位

二项式定理,是全日制普通高级中学教科书（实验修订本.必修）数学第二册（下A） 第十章第四节内容。

作为初中一种多项式乘法公式推广的二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系。在本章中，它起着承上启下的作用。

它是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，也是后继课程某些内容的一个铺垫。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等等。

作为高中数学必修内容的一个部分，它是培养学生观察、归纳能力的好题材。因此本章节在整个高中数学中占有重要地位，具有较高的应用价值和思维训练价值。 2、教学目标、重点、难

2015 周日补课 17 期末复习【选修 2-3】计数原理与二项式定理 1.

7. )

在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每 人 2 张，不同的中奖情况有 种.(用数字作答) 60

14. 从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数个数 为( A. 24 )

6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(A. 144 B. 120 C. 72

D. 24

B. 18

C. 12

D. 6

8. 2. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ( )

用 0,1,2, ,9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数( A. 243

) D. 279 15. 将 2 名教师、 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 小组有 1 名老师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有( ) D. 8

B. 252

C. 261

A. 192 种

B. 216 种

C. 240 种

D. 288 种 9. 满足 a , b { 1,0,1,2} ,且关于 x 的方程 ax 2 x

二项式定理说课稿

一、教材分析

1、教材地位和作用：

二项式定理是选修2－3的1.3节的第一课时，本节课是在学习了排列组合的基础上学习的，并为后面学习概率中的二项分布奠定了基础，所以它是承上启下的一节课。二项式定理不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并且还能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。

2．重点难点

根据本节教材特点及学生的认知结构确定本节课的教学重点为：二项定理的推导及通项公式的运用

由于二项式定理的导出对学生来讲有一定的难度所以确定本节课的难点为：二项式定理的推导

二、目标分析

1、结合重点中学学生的实际情况，确定本节课的教学目标如下：

（1）掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项.

（2）通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力.

（3）激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美

1、掌握二项式定理的概念、通项、 展开式；2、掌握并会应用二项式定理。

(a b) a 2ab b2

2

2

(a+b)2= (a+b) (a+b)展开后其项的形式为：a2 , ab , b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b 每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22

(a b) a 3a b 3ab b = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b33

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b23 2 2 3

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?

问题：1).(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 2).各项前的系数代表着什么？

各项前的系数代表着这些项在展开式 中出现的次数3).你能分析说明各项前的系数吗？

3).你能分析说明各项前的系数吗？(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) a4 a3b a2b2 ab3 项b4都 不 取 b

二项式定理的复习 1.二项展开式：

c a + c a b +L+ c a b +L+ c b0 n n

( a + b)

n

=r n r r n n n n

1 n 1 n

这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。 二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk 叫做二项展开式的通项, 通项公式:TK+1=Cnkan-kbk

2.二项展开式的特点 2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 项数： 展开式有共n+1项 n+1 都是组合数， (2) 系数 ： 都是组合数， 依次为C 依次为Cn0,Cn1,Cn2,Cn3,…Cnn C (3) 指数的特点 ： a的指数 (降幂 降幂) 1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 b的指数由0 n (升幂) (升幂) 的指数由 升幂 a和 的指数和为n 3) a和b的指数和为n

3.二项式定理的几个变式：

(a +b)(a-b)n

n

= c a + c a b +L+ c a b +L+ c b0 n n

1 n 1 n

r n r r n

n n n

1 2 k = an Cnan 1b + Cn an 1b2

篇一：二项式定理教学反思

二项式定理教学反思

黄慧莹 二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续，是排列组合知识的具体运用，定理的证明是计数原理的应用．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体．教学过程中，让学生充分体会到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决一般问题的方法．教学中我特别注重运用通项意识凡涉及到展开式的项及其系数等问题