初中数学竞赛中的数论初步

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初中数学竞赛练习题集

数论部分

1. 求满足2p 2 p 8 m 2 2m 的所有素数 p 和正整数 m .

2. 设a 、b 为整数，x 、y 为整数，证明：形如ax by 的正整数中，最小值ax 0 by 0 (a,b).

2 2

3. 求方程x y 2(x y) xy 的所有正整数解?

4. 正整数n 满足当10 k 2时，有n k 1(mod k)，求n 的最小值.

6.已知 a 1，a ?, a 3, a 4， 是满足条件 a 1 a ? a 3

a 4 关于x 的方程 x 耳 x a 2 x % x a 4 x a 5

7. 试求出所有这样的正整数

a 使得关于x 的二次方程ax 2 2(2a 1)x 4(a 3) 0至少

有一个整数根. 2

8. 是否存在质数p 、q ，使得关于x 的一元二次方程 px qx p 0有有理数根 , 2 2

9. 已知m 、n 均为正整数，且 m n ，2006m m 2007 n n .证明：m n 是为完全 平方数.

2 2

10. 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程(k 2k)x (4 6k)x 8 0的解都是整数， 求k 的值.

2

9n 10n 2009能表示为两个连续自然数之积，求

数学竞赛中的数论问题 韩熙

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3， 是这样一个集合N ：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N 的子集M，若1 M，且当a M时，有后继数a M，则M N ． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数 素数（

数学竞赛中的数论问题 罗增儒

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3，?是这样一个集合N?：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N?的子集M，若1?M，且当a?M时，有后继数a?M，则M?N?． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得

数学竞赛中的数论问题 韩熙

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3， 是这样一个集合N ：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N 的子集M，若1 M，且当a M时，有后继数a M，则M N ． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数 素数（

数学竞赛中的数论问题

定理4 a,b是两个不同时为0的整数，若ax0?by0是形如ax?by（x,y是任意整数）的数中的最小正数，则

（1）ax0?by0|ax?by；（2）ax0?by0??a,b?．

证明 （1）由带余除法有ax?by??ax0?by0?q?r，0?r?ax0?by0， 得 r?a?x?qx0?x?b?y?qy0??ax0?by0，

知r也是形如ax?by的非负数，但ax0?by0是形如ax?by的数中的最小正数，故r?0，即ax0?by0|ax?by． （2）由（1）有ax0?by0|a1?b0?a，ax0?by0|a0?b1?b，

得ax0?by0是a,b的公约数．另一方面，a,b的每一个公约数都可以整除ax0?by0，所以ax0?by0是a,b的最大公约数，ax0?by0??a,b?．

推论 若?a,b??1，则存在整数s,t，使as?bt?1．（很有用）

定理5 互素的简单性质： （1）?1,a??1．（2）?n,n?1??1．（3）?2n?1,2n?1??1． （4）若p是一个素数，a是任意一个整数，且a不能被p整除，则?a,p??1． 推论 若p是一个素数，a

数学竞赛中的数论问题

定理4 a,b是两个不同时为0的整数，若ax0?by0是形如ax?by（x,y是任意整数）的数中的最小正数，则

（1）ax0?by0|ax?by；（2）ax0?by0??a,b?．

证明 （1）由带余除法有ax?by??ax0?by0?q?r，0?r?ax0?by0， 得 r?a?x?qx0?x?b?y?qy0??ax0?by0，

知r也是形如ax?by的非负数，但ax0?by0是形如ax?by的数中的最小正数，故r?0，即ax0?by0|ax?by． （2）由（1）有ax0?by0|a?1?b?0?a，ax0?by0|a?0?b?1?b，

得ax0?by0是a,b的公约数．另一方面，a,b的每一个公约数都可以整除ax0?by0，所以ax0?by0是a,b的最大公约数，ax0?by0??a,b?．

推论 若?a,b??1，则存在整数s,t，使as?bt?1．（很有用）

定理5 互素的简单性质： （1）?1,a??1．（2）?n,n?1??1．（3）?2n?1,2n?1??1． （4）若p是一个素数，a是任意一个整数，且a不能被p整除，则?a,p??1． 推论 若p是一个

数学竞赛中的数论问题

定理4 a,b是两个不同时为0的整数，若ax0?by0是形如ax?by（x,y是任意整数）的数中的最小正数，则

（1）ax0?by0|ax?by；（2）ax0?by0??a,b?．

证明 （1）由带余除法有ax?by??ax0?by0?q?r，0?r?ax0?by0， 得 r?a?x?qx0?x?b?y?qy0??ax0?by0，

知r也是形如ax?by的非负数，但ax0?by0是形如ax?by的数中的最小正数，故r?0，即ax0?by0|ax?by． （2）由（1）有ax0?by0|a1?b0?a，ax0?by0|a0?b1?b，

得ax0?by0是a,b的公约数．另一方面，a,b的每一个公约数都可以整除ax0?by0，所以ax0?by0是a,b的最大公约数，ax0?by0??a,b?．

推论 若?a,b??1，则存在整数s,t，使as?bt?1．（很有用）

定理5 互素的简单性质： （1）?1,a??1．（2）?n,n?1??1．（3）?2n?1,2n?1??1． （4）若p是一个素数，a是任意一个整数，且a不能被p整除，则?a,p??1． 推论 若p是一个素数，a

数论初步

※知识要点 1、奇偶性

奇数±奇数＝偶数 偶数±偶数＝偶数 奇数±偶数＝奇数 偶数±奇数＝奇数

奇数×奇数＝奇数 偶数×偶数＝偶数 奇数×偶数＝偶数 2、数的整除

一般地，如a、b、c为整数，b≠0,a÷b＝c ,即整数a除以整数b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 性质： ①如果c|a,c|b,那么c|(a±b)；②如果bc|a,则b|a,c|a ；③如果b|a,c|a ,(b,c)＝1,则bc|a ；④如果c|b,b|a,则c|a. 整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字只能是0,2,4,6,8 ②能被5整除的数的特征：个位数字只能是0或5 ③能被3（9）整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3（9）整除 ④能被4（25）整除的数的特征：末两位数能被4（25）整除 ⑤能被8（125）整除的数的特征：末三位数能被8（125）整除 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数奇数位上的数字之和与偶数位

数论初步

1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是。

2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是 。

3、下面这个199位整数：1001001001 1001 被13除，余数16、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。现已知一个十全数能被1,2,3， ，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是------。 17、包含0，1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，

如果某个“十全数”同时满足下列要求： （1）它 能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除。 是多少 ？

4、一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是-----。

5、一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。这个三位自然数是----。

6、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三位数是----，----，----。

7、如果20052005 200501能被11整除，那么N的最小值是-------。

8、有一个六位数

数论初步

※知识要点 1、奇偶性

奇数±奇数＝偶数 偶数±偶数＝偶数 奇数±偶数＝奇数 偶数±奇数＝奇数

奇数×奇数＝奇数 偶数×偶数＝偶数 奇数×偶数＝偶数 2、数的整除

一般地，如a、b、c为整数，b≠0,a÷b＝c ,即整数a除以整数b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 性质： ①如果c|a,c|b,那么c|(a±b)；②如果bc|a,则b|a,c|a ；③如果b|a,c|a ,(b,c)＝1,则bc|a ；④如果c|b,b|a,则c|a. 整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字只能是0,2,4,6,8 ②能被5整除的数的特征：个位数字只能是0或5 ③能被3（9）整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3（9）整除 ④能被4（25）整除的数的特征：末两位数能被4（25）整除 ⑤能被8（125）整除的数的特征：末三位数能被8（125）整除 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数奇数位上的数字之和与偶数位