归纳与类比

竞赛专题讲座2

－类比、归纳、猜想

数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法．

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证． 运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型． （1）降维类比

将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比． 【例1】如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．

求证：++为定值．

分析 考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于

A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为

定值1．另外，过A、O

全类型归纳总结类比推理

属种关系与种属关系

在逻辑学中将外延较大的概念称为属概念，外延较小的概念称为种概念。属种关系是指外延较大的属概念对于外延较小的种概念的关系(即真包含关系)，例如“动物”与“脊椎动物”，“劳动者”与“农民”。种属关系是指外延较小的种概念对于外延较大的属概念的关系(即真包含于关系)，例如：“哺乳动物”与“脊椎动物”，在这一对关系中，所有的哺乳动物都是脊椎动物，但有的脊椎动物不是哺乳动物，这样，“哺乳动物”对于“脊椎动物”的关系就是真包含于关系。

例题：修辞∶比喻

A. 书籍∶报纸 B. 文艺∶宗教

C. 写作∶文章 D. 文体∶散文

本题中，题干中的修辞包含了比喻，比喻是修辞方法中的一种，所以两者构成了真包含关系，即属种关系。在备选项部分，A项中的书籍和报纸是并列关系，B项中的文艺和宗教同属于社会文化的一部分，两者也是并列关系，C项中写作和文章也不具有包含关系。D项中文体有多种类型，包括散文、说明文、记叙文、议论文。很明显，散文包含在文体中，D项的表述形式完全符合题干的逻辑关系，也构成属种关系，所以应当选D。

本题中，若题干部分改为“比喻∶修辞”，则其内在逻辑关系随表述先后顺序的变化变为种属关系，即“比喻包含于修辞当中”，所以备选项D就

1.2 类比推理

一、教学目标

1.知识与技能： （1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；

（2）能利用类比进行简单的推理；

（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

2.方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3.情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

1.归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；

2.典型例子方法归纳。

（二）引入新课：

清远市华侨中学高二理科数学练习题——归纳推理与类比推理

命题人：刘志联 审校：陈广平 2010-3-29

1.(2005广东)．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= ；当n>4时，

1f(n)= .（用n表示）5, (n?2)(n?1)

22.(2006广东)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、?堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以

f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)? ；f(n)? （答案用n表示）.f(3)?10，f(n)?n(n?1)(n?2)

63.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

??????

按照以上排列的规律，第n行（n?3）从左向右的第3个

实验7 .传质传热类比实验

一、实验目的

1．了解用极限扩散电流技术测定液固传质系数的原理。

2．掌握用极限扩散电流法（LDCT法）测定垂直管内液固传质系数的实验方法。 3．运用传热与传质的类比关系验证三传类比原理。

二．实验原理

1．LDCT法原理

在铁氰化钾与亚铁氰化钾所构成的电解质溶液中设置一对电极，其中，阴极（测量电极）的表面积远比阳极的表面积小。当有电压施加在两电极之间时，在溶液中便有电极反应发生，阴极上是铁氰根离子的还原，阳极上则是亚铁氰根离子的氧化：

阴极： Fe(CN)6阳极：Fe(CN)6?3?4?e?Fe(CN)6

?3?4?e?Fe(CN)6

电极电路中电流强度的大小反映出电极反应的快慢。在溶液中，反应离子将向电极表面运动，其传递方式主要为：① 电场作用下的离子迁移；② 浓度梯度所导致的扩散。若向溶液中加入过量的惰性电介质溶质，则可消除电迁移的影响。此时，宏观反应速率取决于反应离子向电极表面的扩散速率与电极表面上的电化学反应速率。当外加直流电压由小变大时，宏观反应速率加快，电路中的电流变大。典型的电流—电压曲线如图2-7-1所示。当电压加大到某一值后（达到极限电流区域），电极表面上的电化学反应已相当快，超过了反应离子向电

论现代设计技术之传统和现代创新

联想类比法

摘要：：本文主要阐述现代设计技术之传统的原理、特点和方法；联想类比法的原理、特点以及在现代创新中的应用；创新性思维的内涵以及创新的过程。

关键词：联想类比法 设计 传统 创新 创新性思维1 概述

传统的机电产品设计是一种以强度和低压控制为中心的安全系数设计、经验设计、类比设计和机电分离设计，也称常规设计。而现代机电产品设计方法则是强调创造性，在注重产品整体功能基础上以现代设计方法和计算机技术为工具的机电一体化系统设计。这种设计不但可以大大提高设计的质量、精度和效率，而且可以将产品的适应性、经济性、可靠性统一起来，从而高水平、高效率地设计出性能优良、市场欢迎、经济效益显著的新型产品。本文着重以联想类比法介

绍两者相关理论以及它们之间的关系。

2 联想类比法

爱因斯坦曾说过：“想象力比只是更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是只是进化的源泉。”知识经济时代要求人们特别注重只是创新，而知识创新的思维基础又是创造性思维。创造性思维在为此，对创造性思维的应用展开研究非常有必要。思维和感觉都是人脑对客观现实的反映，感觉是人脑对客观现实的直接反映，是通过感觉器官对失误的个别属性、事

中考试题类比探究

1、（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．

【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】（3）在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

2．某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：DP=DQ； （2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；

（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC

类比推理基础 问题反馈 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一章 类比推理考情分析 第二章 类比推理题型分析 第一节 2013国考大纲类比推理部分 第二节 历年真题类比推理例题 第三章 类比推理基础知识 第一节 全同关系 第二节 并列关系 第三节 包含关系 第四节 对应关系 第五节 常识类比 第一章 类比推理考情分析 1108 收藏 类比推理从2006年国家公务员考试中取代事件排序后，一直是国家公务员考试中的必考题型。在联考、省考中也是必考题型(地方公务员考试中只有北京、上海等极少地方不考此题型)。题量以10道为主。 表1-1 2008年至2013年国考类比推理题量分析 年份 题量 2013 10 2012 5 2011 10 2010 5 2009 10 2008 10 表1-2 2009年至2012年联考逻辑判断题型分析 年份 题量 2013春 10 2012秋 10 2012春 10 2011秋 10 2011春 0 2010秋 10 1

表1-1和1-2分别是近几年国考和联考中类比推理的题量。可以看出类比推理是国家公务员考试的必考题型，在联考中，只有2011年春季联考没有考察。因此，类比推理是我们必须掌握的一种题

考点规范练53 归纳与类比 考点规范练A册第42页 基础巩固组

1.下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质;

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;

③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;

④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出n边形的内角和是(n-2)·180°.

A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ 答案:C

解析:①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.

2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),而y=lox是对数函数(小前提),所以y=lox是增函数(结论)”,以上推理的错误是( ) A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误

D.大前提和小前提均错误导致结论错误 答案:A

解析:当a>1时,函数y=logax是增函数;

当0

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3.(2015山东临沂模拟)观察(x)'=2x,(x)'=4x,(cos x)'=-sin x,由归纳推理得:若定义在R上的函数f

高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比教材习题点拨 北师大

版选修2-2

练习(P7)

1.解：杨辉三角形的第8行是：1 7 21 35 35 21 7 1 杨辉三角形中的一般规律:

(1)表中每个数都是组合数,第n行的第r+1个数是Cn?rn!.

r!(n?r)!(2)三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是

rr?1r=CnCn?1+Cn?1.

rr?1(3)杨辉三角具有对称性(对称美),即Cn=Cn.

(4)杨辉三角的第n行是二项式(a+b)展开式,即

01r(a+b)=Cna+Cnab+?+Cnab+?+Cnb的二项式系数.

n

n

n-11

n-rr

n

n

n

2.答案:(1)证明:如图所示,P是等边△ABC内一点,PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,

111PD·AB+PE·AC+PF·BC, 2221111因为AB=BC=AC,所以S△ABC=PD·AB+PE·AB+PF·AB=(PD+PE+PF)AB,

2222则S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=所以PD+PE+PF=

2AB. S?ABC因为等边△ABC的面积和边长AB为一定值,所以PD+PE+PF为定值. 所以结论成立.