数值计算方法数值实验答案

《数值计算方法》

邹昌文编

2009年10月

上机实验指导书

“数值计算方法”上机实验指导书

实验一 误差分析

实验1.1（病态问题）

实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式

p(x) (x 1)(x 2) (x 20) (x k)

k 120

(1.1)

显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动

p(x) x19 0

(1.2)

其中 是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中x19的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB函数：“roots”和“poly”。

u roots(a)

其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为

数值计算方法 黄云清编

数值计算方法

Project II solutions:

1.Give the formula of the following methods: Langerange Interpolation、Piecewise Linear Langerange Interpolation and Cubic Spline Interpolation

(1)Langerange Interpolation formula：

Ln(x) yili(x),

i 0n

li(x) (x x0)...(x xi 1)(x xi)...(x xn),i 0,1,...,n(xi x0)...(xi xi 1)(xi xi 1)...(xi xn)

其中基函数满足：

1,i j li(xj) 0,i j,i,j 0,1,...n

Piecewise Linear Langerange Interpolation formula： In yjlj(x),

j 0n

x xj 1,xj 1 x xj x xj 1 j x xj 1lj(x) ,xj x xj 1 xj x 0,x

Cubic Spline Interpolation：

S(x

数值计算方法上机实验报告

上 华北电力大学

机 实 验 报

课程名称：数值计算方法 专业班级： 学生姓名： 学 号： 指导教师：

告

数值计算方法上机实验报告

一、列主元素消去法求解线性方程组 1.程序框图 2.算法原理

为避免绝对值很小的元素作为主元，在每次消元之前增加一个选主元的过程，将绝对值大的元素交换到主对角线的位置。列主元素消元法是当变换到第k步时，从k列的akk及以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过二交换将其交换到akk的位置上。

3.输入输出变量

aij

为系数矩阵的各个系数

k表示到第k步消元 4.具体算例

输入增广矩阵为： 3

二、LU分解法求解线性方程组1 2 -3 8 2 1 3 22 3 2 1 28

解得：x1=6，x2=4，x3=2；

1.算法原理

应用高斯消去法解n阶线性方程Ax b经过n 1步消去后得出一个等价的上三角形方程组A(n)x b(n)，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。

数值计算方法上机实验报告

这个过程也可通过矩阵分解来实现。

将非奇异阵分解成一个下三角阵L和上三角阵U的乘积

A LU

称为对矩阵A的三角分解，又称LU分解。

Ly b

根据LU分解,将Ax b分解为 形式,简化了求解问题。

Ux y 2.程序框图

数值计算方法试题一

一、填空题（每空1分，共17分）

31、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2x?x??(x?2)局部收敛的充分条件是?取值在（ ）k?1kk2、迭代格式。 ?x30?x?1?S(x)??1(x?1)3?a(x?1)2?b(x?1)?c1?x?3??23、已知是三次样条函数，则

a=( )，b=（ ），c=（ ）。

4、l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，则

?lk?0nk(x)?( )，k?0?xlnkj(xk)?( )，当n?2时k?0?(xn4k2?xk?3)lk(x)?( )。

7425、设f(x)?6x?2x?3x?1和节点xk?k/2,k?0,1,2,?,则f[x0,x1,?,xn]? 7?和f0? 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

????(x)k?0是区间[0,1]上权函数?(x)?x的最高项系数为7、k1的正交多项

《数值计算方法》

实验指导

（Matlab版）

肇庆学院 数学与统计学学院

计算方法课程组

1

《数值计算方法》实验1报告

班级： 20xx级XXXXx班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：

1. 实验名称

实验1 算法设计原则验证（之相近数相减、大数吃小数和简化计算步骤） 2. 实验题目

(1) 取z?10，计算z?1?有效数字的损失．

(2) 按不同顺序求一个较大的数（123）与1000个较小的数（3?10数吃小数的现象．

(3) 分别用直接法和秦九韶算法计算多项式

?1516z和1/(z?1?z)，验证两个相近的数相减会造成

）的和，验证大

P(x)?a0xn?a1xn?1???an?1x?an

在x=1.00037处的值．验证简化计算步骤能减少运算时间．

对于第(3)题中的多项式P(x)，直接逐项计算需要n?(n?1)???2?1?和n次加法，使用秦九韶算法

n?1次乘法2P(x)?(((a0x?a1)x?a2)x??an?1)x?an

则只需要n次乘法和n次加法． 3. 实验目的

验证数值算法需遵循的若干规则． 4. 基础理论

设计数值算法时，应避免两个相近的

数值计算方法

?随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各咼輕院校数学、物理和井算*几应用专 ?工科本科生的专业基础课，也是工科矗究生

的学位必修课。

?数值分析或数值计算方法主要是研

究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法?对那些在经典数学中，用解析方法在理论上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺少，同时有十分

?计算机解决科学计算问题时经历的几个过 程

-实际问题——> 数学模型——> 数值计算方

法——> 程序设计——> 上机运行求出解

-实际问题——〉数学模型：由实际问题应用科

学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应

-数值计算方法——> 程序设计——> 计算结果

:

根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出

程序上机算出解，是计算数学的任务。

?数值计算方法重点研究：求解的数值方法及与此有关的理论

-包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析，计 q寸间的最小（也就是计算费用），占用内存空

数学问题的数值解法例示

?例仁1

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c

《数值方法》实验报告

1

非线性方程的数值计算方法实验

【摘要】在利用数学工具研究社会现象和自然现象，或解决工程技术等问题

?0的求解问题，时，很多问题都可以归结为非线性方程f（x）无论在理论研究方

面还是在实际应用中，求解非线性方程都占了非常重要的地位。综合当前各类非线性方程的数值解法，通过比较分析，二分法，迭代法，牛顿—拉夫森方法，迭代法的收敛阶和加速收敛方法，以上的算法应用对某个具体实际问题选择相应的数值解法。

关 键 词 非线性方程；二分法；迭代法；牛顿-拉夫森法；割线法等。

一、实验目的

通过本实验的学习，应掌握非线性方程的数值解法的基本思想和原理，深刻认识现实中非线性方程数值的意义；明确代数精度的概念；掌握二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法、割线法等常用的解非线性方程的方法；培养编程与上机调试能力。

二、实验原理

二分法：单变量函数方程： f（x）=0

其中，f(x)在闭区间[a，b]上连续、单调，且f(a)*f(b)<0,则有函数的介值定理可知，方程f（x）=0在（a，b）区间内有且只有一个解x*，二分法是通过函数在区间端点的符号来确定x*所在区域，将有根区间缩小到充分小，从而可以求出满足给定精度的根x*的近似值。 下面研究二分法的几何意义：

设a1=1, b1=b, 区间?a1,b1?，中点x1=

a1?b1及f?x1?，若f?x1?=0，则x*=x1，2若 f(a1)*f(x1)<0，令a2=a1，b2=x1，则根x*? [a2,b2]中，这样就得到长度缩小一半的有根区间[a2,b2]，若 f(b1)*f(x1)<0，令a2=x1，b2=b1，则根x*? [a2,b2]中，这样就得到长度缩小一半的有根区间[a2,b2],即f(a2)f(b2)<0,此时b2-a2=

b1?a1,对有根区间[a

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c