基本初等函数的图像与性质(高等数学)

高等数学公式

导数公式：

(tgx)??secx(ctgx)???csc2x(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna(logax)??基本积分表：

2(arcsinx)??11xlna1?x21(arccosx)???1?x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x2?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx2?sec?cos2x?xdx?tgx?Cdx2?csc?sin2x?xdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n???x2a22x?adx?x?a?ln(x?

第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质

【考试要求】

1．函数

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。 （3）了解简单的分段函数，并能简单应用。

（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。 （5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。 2．指数函数

（1）了解指数函数模型的实际背景。

（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。 （4）知道指数函数是一类重要的函数模型。 3．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 （3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数（a?0,且a?1）。 4．幂函数

（1）了解幂函数的概念

11（2）结合函数y?x,y?x,y?x,y

函数概念与基本初等函数

第1课时 函数及其表示

基础过关 一、映射

1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .

2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数

1．定义：设A、B是 ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的 ，记作 .

2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有 、 、 。

典型例题 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.

xA. y?1,y? B. y?x?1?x?1,y?x2?1xC. y?x,y?3x3 D. y?|x|,y?(x)2解：C

变式训练1：下列函数

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 函数概念与基本初等函数

考纲导读 （一）函数

1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.

2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数

1．了解指数函数模型的实际背景。

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4．知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.

4．了解指数函数 与对数函数 互为反函

一、一次函数

一次 函数 kk?kx?b?k?0? k?0 b?0 b?0 b?0 b?0 ，b 符号 k?0 b?0 b?0 yyOOyOyOyOy图象 Oxxxxxx性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 二、二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)?ax2?bx?c(a?0) ②顶点式：f(x)?a(x?h)2?k(a?0) ③两根式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0) （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．

（3）二次函数图象的性质

f?x??ax2?bx?c?a?0? a?0 a?0 图像 bx??2a bx??2a b 2a 定义域 对称轴 顶点坐标 ???,??? x???b4ac?b2???,? 2a4a???4ac?b2?,???? ?4a?b????,???递减 2a??值域 ?4ac?b2????,? 4a??b????,???递增 2a??单调区间 ?b??,????递增 2a???b??

基本初等函数练习题

2

1?x 3

1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( )A．y＝2x2－x＋3 B．y＝?C．y＝x D．y＝log1x ?3?2

2．若f(x)＝

1111

－，＋∞?B．(0，＋∞) C.?－，0? D.?－，0? ，则函数f(x)的定义域为( )A.??2??2??2?log0.5?2x＋1?

－

3．已知f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是( )

A．a>0 B．a>1 C．a<1 D．0

A．a1

5．已知0＜a＜1，x＝loga2＋loga3，y＝loga5，z＝loga21－loga3，则( )

2

A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y

1?cc?1?cc?1?c

6．已知c<0，下列不等式中成立的是( )A．c>2c B．c>? C．2< D．2>?2? ?2??2?7．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a、b表示log125的值为________． 8．方程log2(9x1－5)＝log2(3x1－2)＋2的解为________．

－

－

9．给出下列结论：①?－2

都江堰戴氏精品堂 西部名校冲刺第一品牌

可以成功 可以失败 但决不能放弃

课题 教学目标 一．【典例解析】

题型1：指数运算

??3?340.53【例1】（1）计算：[(3)(5)?(0.008)?(0.02)2?(0.32)2]?0.06250.25；

892211基本初等函数例题 （2）化简：

a?8ab4b?23ab?a2143132323?(a?2323ba?3a2?)?。

53aa?a2184910003426254【解】（1）原式=[()3?()2?()?50?]?()

27981010000471421172?[??25??]??(??2)?2?； 932995210（2）原式=

a[(a)?(2b)](a)?a?(2b)?(2b)132131313213133133?a?2b(a?a)?111 a(a2?a3)52313132312?a(a?2b)?12131313aa?2b1313?aa5616?a?a?a?a2。

13【例2】（1）已知x?x1212?12?3，求

12?x2?x?2?2x?x32?32的值

?3【解】∵x?x??3，∴(x?x)?9，

?1122∴x?2?x?9，∴x?x?1?7，

教师 姓名 年级 高一

学生姓名 学科 提高 () 数学

填写时间 上课时间 第( 共( )次课 )次课

阶段 基础 (√) 教学 目标 教学 重难 点

强化 ( ) 课时计划

1 、基本初等函数

教学重点：基本初等函数基础知识点的熟练掌握 教学难点：基本初等函数的实际应用

教 学 过 程

课后 作 业：

知识点一：指数与对数的运算 1、n次方根n 1,n N 有如下恒等式：

mn

a

n

n

a,n为奇数

a；an

a,n为偶数

1m

2、规定正数的分数指数幂：a a;am

mn

1

a 0,m,n N,且n 1

a

n

例1、求下列各式的值：

（1）3 n

n 1,且n N ；

211115例2、化简：（1）(2a3

b2

)( 6a2

b3

) ( 3a6

b6

)；

练习：化简（1）(6

a9)4(3

a9)4

（3）0.027 13

3

( 17

) 2 2564 3 1

1=__________．23（4）

aa 1b 1 2

1 (3a

2ba

)=__________．

am

（2）

x y 2

a3b2ab2

211(a 0,b 0)； (a4b2)4 3

b

a

2111（2）

(a3b2) ( 3a2b2

)

115

3

a6b6（

7210 337 20

（5）(2) 0.1 (2) 3 =________

二种基本初等函数

课前回顾：

1.求解析式的几种方法：

2.函数的周期性的几种规律：

3函数对称性的几种形式：

新课讲解：

（★★★）一.指数的运算与指数函数的概念及运用：

1.指数运算法则：（1）aa?arrrrsr?s；

（2）ar

??

s?ars；

（3）?ab??ab； （4）a?nam； （5）a?mnmn?1nama,n奇 （6）nan????|a|,n偶2.指数函数的概念：形如y?ax（a>0,a≠1）的函数。

3.指数函数的性质及图像：

指数函数 01 图 象 表达式 y?ax 定义域 R 值 域 (0,??) 过定点 (0,1) 单调性

单调递减 单调递增 题型分类：

（★）（一）指数

21、化简［3(?5)］的结果为 （ ）

34 A．5

B．5 C．－5

D．－5

32、将?22化为分数指数幂的形式为（ ）

1213 A．?2 B．?2 C．?23?12 D．?2

563、化简

3ab2?a3b21612(a, b为

高考专题训练(二) 基本初等函数的图象与性质

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在括号里．

1．(2012·陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A．y＝x＋1 1C．y＝ B．y＝－x D．y＝x|x|

3

x解析 采用排除法，选项A虽是增函数但不是奇函数，选项B是奇函数但不是增函数，选项C虽是奇函数但在整个定义域内不是一个增函数，故应选D.采用直接法，选项D的函数

??－x，x<0

y＝x|x|＝?2

?x，x≥0?

2

，画出函数的大致图象，很容易判断此函数既是奇函数又是增函数．

答案 D

2．(2012·新课标)已知函数f(x)＝

1

x＋

，则y＝f(x)的图象大致为( ) －x

A B

C D

1

解析 解法一：先求定义域，x>－1，且x≠0，排除D，取x＝e－1>0得y＝<0，

1－e＋1

排除A，取x＝－0.5，得y＝

11

，∵ln2>lne＝0.5，∴y＝<0，排除C，

－ln2＋0.5－ln2＋0.5

选B.解法二：先