(完整版)线性代数知识点全归纳

线性代数知识点

1、行列式

1.

n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； ?ji?j3.

代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)iAijAij?(?1)Mij

4. 设n行列式D：

n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)2D； n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90?，所得行列式为D2，则D2?(?1)2D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n?1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)2；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； n(n?1)④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)2；

⑤、拉普拉斯展开式：

AOCB?ACOB?AB、CABO?OABC?(?1)m?nAB ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

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1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用 表示， = n ！

逆序数：对于排列

…

，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

其中： 是1,2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5. 下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式：

副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于

线性代数知识点框架（一）

线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式

1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用 表示， = n ！

逆序数：对于排列

…

，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

其中： 是1,2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5. 下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式：

副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于

一、方程组

1、设方程组x2x

1 2 0有非零解，则k=（ ）

2x1 kx2 0

A. 2 B. 0 C. 1 D. 4

2、若方程组xx

1 2 0有非零解，则k=（ ）

kx1 x2 0

A. -1 B. 0 C.1

D.2

aaa3、设A=11

1213

a11x1 a12x2 a13x3 0

a21

a22a23 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组 a21x1 a22x2 a23x3 0的解为（ ） a31

a32

a33

a31x1

a32x2 a33x3 0A． 1,1,1 T

B． 0,0,0 T

C． a11,a12,a13

T D．(0,1,0)T

1

22 4、设矩阵A=

2

t3

，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=（ ）

34

5

3x1 kx2 x3 0

5、如果方程组

4x2 x3 0有非零解,则 k=（ ）

4x2 kx3 0A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

6、设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=

一．问答题

1．叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。

答:定义：在n阶行列式D中划去aij所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n-1）阶行列式，称为aij的余子式，记为Mij ，即

a1,1?Mij???a1,j?1?a1,j?1???a1n??

ai?1,1?ai?1,j?1ai?1,1?ai?1,j?1?an,1???an,j?1ai?1,j?1?ai?1,nai?1,j?1?ai?1,n?an,j?1???an,n??1?i?j?Mij称为aij的代数余子式，记为Aij,即Aij???1?i?j?Mij

2．叙述矩阵的秩的定义。

答：定义：设A为m?n矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）=r或R(A)=r。

3．齐次线性方程组的基础解系是什么？

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?0?ax?ax?...?ax?0?2nn答：定义：设T是?211222的所有解的集合，若T中存在一组非零解v1,v2,...,vs，满足

?................................

　　一、诗歌鉴赏相关专业术语

　　1.诗歌按题材来划分，可分为8种，分别是：

　　⑴咏史怀古诗:凭吊古迹古人来借古讽今；或感慨昔盛今衰，今不如昔；或渴望像古人一样建功立业。（写古迹古人，多用典故）

　　⑵托物言志诗：不直接表露思想情感，而是运用比喻象征拟人手法把自己的理想和人格融入一物象中。（常有松、竹、梅等意象）

　　⑶边塞征战诗：或抒写报国立功壮志；或征夫思家的思念；或对开边拓土穷兵黩武的统治者的讽刺和规劝。

　　⑷羁旅思乡诗：写游子漂泊的羁旅愁苦；或所见所闻所感触发的思念故乡的乡愁。（常有月、柳、雁、书信及梦境幻觉的描写

　　⑸送别留念诗：或表达别时留恋；或表达别后思念；或表白理想信念；或表达彼此勉励。

　　⑹田园山水诗：借写山林田园的闲适美好，表达对世俗与现实的不满、向往宁静平和的归隐思想，或表达自己遗世独立，保持节操品性的情怀。

　　⑺即事感怀诗：或忧国忧民；或反映离乱；或渴望建功立业；或仕途失意闺中怀人；或讴歌河山。

　　⑻闺怨闺愁诗：或表达对戍边丈夫的思念，或写春光（青春）易逝，光阴不再的感伤，或表达对战争的厌恶。

　　2、表达方式又五种，分别是 记叙，描写，议论，抒情，说明

　　3第一种：描写景物的方法：

　　（⒈）从直接

人教版小学数学知识点归纳

第一章 数和数的运算 一 概念 （一）整数

1、 整数的意义 自然数和0都是整数。 2 、自然数

我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位

一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 、数位

计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除

整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。例如15÷3=5，所以15能被3整除，3能整除15。

如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。倍数和约数是相互依存的。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

一个数的各位上的数的和能被3

最全版高中文科数学知识点

必修1数学

集合：

1、集合的定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做 这个集合中的元素

2、集合元素的特征：①确定性 ②互异性 ③无序性 3、集合的分类：①有限集 ②无限集 ③空集，记作?

4、集合的表示法：①列举法 ②描述法 ③文氏图法 ④特殊集合 ⑤区间法 常用数集及其记法：①自然数集（或非负整数集）记为N 正整数集记为N或N?

②整数集记为Z ③实数集记为R ④有理数集记为Q 5、元素与集合的关系：①属于关系，用“?”表示；②不属于关系，用“?”表示 6、集合间的关系：①包含：用“?”表示 ②真包含：用“? ?”表示 ③相等 ④不相等 7、集合的交、并、补

交集的定义：由所有属于集合A且属于集合的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A?B， 即A?B?xx?A且x?B

并集的定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A