微分方程建模例题

微分方程建模

一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：

1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；

2.列方程。可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；

3.解微分方程；

4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。

下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。

一.增长模型

在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间内的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。

1.马尔萨斯人口模型

严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改

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第六章

微分方程模型

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本章内容 微分方程基本概念及建模方法 一阶微分方程(组)模型 稳定性模型

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一、微分方程基本概念及建模方法

微分方程的阶 解：特解、通解、解析解、数值解 初值问题 在实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少 ”等关键词提示我们什么量在变化，关键词“速率”、“增 长”、“衰变”、“边际的”等常涉及导数。

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建立微分方程常用方法

运用已知物理定理 利用平衡与增长式 运用微元法

应用分析法

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1、运用已知物理定律

例1、物体冷却过程将物体放置在空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为u0=1500C,10分 钟后测量得温度为u1=1000C.我们要求此物体的温度u和时间t的关系，并计 算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持在ua=240C. Newton冷却定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的 变化速率正比于 T与周围介质的温度差。解：设物体在 t 时刻的温度为 u u t , t 0 , 根据牛顿冷却定律知， 成正比，建立模型如下： du k (u u a ) dt

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

第18卷第2期2005年4月

高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)

Vol.18No.2April2005

文章编号:1006-7353(2005)02-0022(08)-05

*

《常微分方程》例题分析

徐胜林

(华中师范大学数学与统计学学院,武汉 430079)

摘要:本文对《常微分方程》的一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的规律,指出必须注意的事项,以帮助学生进一步理解基本概念,掌握基本方法,提高学生的解题能力。

关键词:常微分方程;解题分析

中图分类号:O175.1 文献标识码:A

在学习《常微分方程》这门课程的过程中,往往要演算大量的习题,以加深对基本概念、基本方法、基本技巧的理解和记忆,达到灵活运用的程

度,但在解题时,经常会遇到各种各样的困难。本文通过对一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的方法和技巧,以帮助学生提高解题能力,熟练演算技巧,巩固所学知识。

例1 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x

人口模型在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特 征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微 分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它 甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是非常广泛的。 从现在起，我们将向大家介绍一些很著名的微分方程模型，它们中，最简 单，也是最直观的，就是人口模型。对于人口模型，我们向大家介绍两个模型。 1、MALTHUS模型 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在 人口自然增长过程中，净相对增长率(出生率减去死亡率为净增长率)是常数。 设时刻t的人口为N(t),净相对增长率为r,我们把N(t)当作连续变 量来考虑。按照Malthus的理论，在t到t+ t时间内人口的增长量为N ( t Δt ) N ( t ) r Δt N ( t )

N ( t Δt ) N ( t ) r N( t ) Δt

令 t→0,则得到微分方程、dN rN dt

设t=0时人口为N0,即有Nt 0

N0

我们易求得微分方程在上面的初始条件下的解为 N ( t ) N0 ert 如果r>

第18卷第2期2005年4月

高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)

Vol.18No.2April2005

文章编号:1006-7353(2005)02-0022(08)-05

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《常微分方程》例题分析

徐胜林

(华中师范大学数学与统计学学院,武汉 430079)

摘要:本文对《常微分方程》的一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的规律,指出必须注意的事项,以帮助学生进一步理解基本概念,掌握基本方法,提高学生的解题能力。

关键词:常微分方程;解题分析

中图分类号:O175.1 文献标识码:A

在学习《常微分方程》这门课程的过程中,往往要演算大量的习题,以加深对基本概念、基本方法、基本技巧的理解和记忆,达到灵活运用的程

度,但在解题时,经常会遇到各种各样的困难。本文通过对一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的方法和技巧,以帮助学生提高解题能力,熟练演算技巧,巩固所学知识。

例1 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x

第七章 常微分方程与差分方程

常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可

第七章 常微分方程与差分方程

常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可

摘要：在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究能量与运动之间的关系时，得到直接关系，就得求微分方程。

本文利用了微分方程模型求解实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式，再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出结果，对于第一问，利用微分方程反解出时间t（天），从而得到每个人达到自己理想目标的天数，同理，对于第二和第三问 ，利用以上方法，加上运动所消耗的能量，也可得出确切的时间，和所要保持体重所消耗的能量。

【关键字】：微分方程 转化 能量转换系数

1. 问题重述

现有五个人，身高、体重和BMI指数分别入下表一所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去： 人数 身高 体重 BMI 理想目标 1 1.7 100 34.6 75 2 1.68 112 33.5 80 表一 3 1.64 113 35.2 80 4 1.72 114 34.8 85 5 1.71 124 35.6 90 题目要求如下：

（1）在基本不运动的情况下安排计划，，每天吸收的热量保持下限，减

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以