指派问题例题

第一章 绪 论

1、指派问题的背景及意义

指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n件事，各人做不同的一件事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作的效率（如熟练程度等），怎样安排会使总效率达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值.

虽然指派问题可以用0-1规划问题来解，设X(I,J)是0-1变量, 用X(I,J)=1表示第I个人做第J件事, X(I,J)=0表示第I个人不做第J件事. 设非负矩阵C（I，J）表示第I个人做第J件事的费用， 则问题可以写成LINGO程序

SETS: PERSON/1..N/; WORK/1..N/;

WEIGHT(PERSON, WORK): C, X ; ENDSETS DATA: W=… ENDDATA

MIN=@ SUM(WEIGHT: C*X);

@FOR(PERSON(I): @SUM(WORK(J):X(I,J))=1); @FOR(WORK(J): @SUM(PERSONM(I):X(I,J))=1); @FOR(WEIGHT: @BIN(X));

其中2*N个约束条件是线性相关的, 可以去掉任意一个而得到线性无关条件.

整数规划+指派问题

解：设 xij

1, 如果第i项由第j个人完成 0, 如果第i项未由第j个人完成

,用

f (x )

表示所花费的总时间，由题意

现有 A、B、C、D、E 共 5 个人，挑选其中

可得如下模型

的时间如表所示。规定每项工作只能由

m i n f ( x ) 1 0 x1 1 2 x1 2 3 x1 3 1 5 x1 4 9 x1 5 5 x 21 1 0 x 22 1 5 x 23 2 x 24 4 x 25 1 5 x31 5 x32 1 4 x33 7 x34 1 5 x35 2 0 x 41 1 5 x 42 1 3 x 43 6 x 44 8 x 45 x1 1 x1 2 x 21 x 22 x31 x32 x 41 x 42 x x 21 11 x1 2 x 2 2 x x 23 13 x1 4 x 2 4 x1 5 x 2 5 x 44 0 x ij 0 x1 3 x1 4 x1 5 1 x 23 x

指派问题的匈牙利解法 1、

把各行元素分别减去本行元素的最小值；然后在此基础上

再把每列元素减去本列中的最小值。

15 12??0 3 0 11 8??4 8 7 ?????7 9 17 14 10??0 1 7 7 3??6 9 12 8 7???0 2 3 2 1?????10??0 0 5 0 4??6 7 14 6

?6 9 12 10 6??0 2 3 4 0?????此时每行及每列中肯定都有0元素了。 2、

确定独立零元素，并作标记。

（1）、首先逐行判断是否有含有独立0元素的行，如果有，则按行继续处理；如没有，则要逐列判断是否有含有独立0元素的列，若有，则按列继续处理。若既没有含有独立0元素的行，也没有含有独立0元素的列，则仍然按行继续处理。 （2）在按行处理时，若某行有独立0元素，把该0元素标记为a，把该0所在的列中的其余0元素标记为b；否则，暂时越过本行，处理后面的行。把所有含有独立0元素的行处理完毕后，再回来处理含有2个以及2个以上的0元素的行：任选一个0做a标记，再把该0所在行中的其余0元素及所在列中的其余0元

实验四 运输问题和指派问题 一、实验目的和要求

某农民承包了五块土地共206亩，打算种小麦、玉米和蔬菜三种农作物，各种农作物的计划播种面积（亩）以及每块土地种植各种不同农作物的亩产数量（公斤）见下表。问如何安排种植计划可使总产量达到最高？

二、实验过程和步骤

第一步：加载“规划求解工具”。 第二步：建立目标函数

土地块别 作物种类 小麦 玉米 蔬菜 1 2 3 4 5 计划播种面积 86 70 50 x11 x21 x12 x22 x13 x23 x33 44 x14 x24 x15 x25 x35 46 x31 36 x32 48 x34 32 土地亩数

本问题的目标函数是使得总产量达到最高，即：

Min z=500+600+650+1050+800+850+800+700+900+950+1000+950+850+550+700 （3）约束条件 ①满足土地亩数

土地块别1：x11?x21?x31?36；土地块别2：x12?x22?x32?48；土地块别3：土地块别4：x14?x24?x34?32；土地块别5：x15?x25?x35?46 x13?x23?x33?44；②满足计划播种面积

第5讲 分配问题(指派问题)与匈牙利法

分配问题的提出

分配问题的提出若干项工作或任务需要若干个人去完成。由于每人的知识、

能力、经验的不同，故各人完成不同任务所需要的时间不同(或其他资源)。 问： 应指派哪个人完成何项工作，可使完成所有工作所消 耗的总资源最少？

分配问题的提出 设某公司准备派 n 个工人 x1,x2, …,xn 时间为cij (i,j=1,2,…,n)。 现问：如何确定一个分派工人去工作的方案，使 得工人们完成工作的总时间为最少。还比如：, 去作

n

件工作 y1,y2,…,yn。已知工人xi完成工作 yj 所需

n 台机床加工 n 项任务； n 条航线有 n 艘船去航行等。

整体解题思路总结例题：单位：小时

工作1 工作2 工作3 工作4 工作5

工作者 工作者 工作者 工作者 工作者 1 2 3 4 5 4 8 7 15 12 7 9 17 14 10 6 9 12 8 7 6 7 14 6 10 6 9 12 10 6

标准形式的分配问题

标准形式的分配问题 设某公司准备派 n 个工人 x1, x2, …, xn(i,j=1,2,…,n)。 现问：如何确定一个分派工人去工作的方案，使得工人们 完成工作的总时间为最少。, 去作

n 件工作

y1

洛阳师范学院本科毕业论文

浅析指派问题的匈牙利解法

胡小芹

数学科学学院 数学与应用数学 学号:040414057

指导教师:苏孟龙

摘要:对于指派问题,可以利用许多理论进行建模并加以解决,但匈牙利解法是解决指派问题的一种非常简单有效的方法,并且可以解决多种形式的指派问题,但匈牙利算法本身存在着一些问题,本文主要介绍了匈牙利算法的基本思想,基本步骤,以及它的改进方法.在匈牙利算法的基础上,本文还介绍了两种更简便实用的寻找独立零元素的方法——最小零元素消耗法和对角线法.

关键词:指派问题;匈牙利解法;最小零元素消耗法;对角线法 0 引言

在现实生活中经常会遇到把几个任务分派给几个不同的对象去完成,由于每个对象的条件不同,完成任务的效率和效益亦不同.指派问题的目标就是如何分派使所消耗的总资源最少（或总效益最优）,如给工人分派工作,给车辆分配道路,给工人分配机床等等,同时许多网络问题（如旅行问题,任务分配问题,运输问题等）,都可以演化成指派问题来解决.在现实生活中,指派问题是十分常见的问题,而匈牙利解法是解决指派问题的一种非常简单有效的方法.本文主要介绍匈牙利解法的基本原理及思想,解题步骤,不足与改进,以使匈牙利法更能有效地解决指派问题

四年级（上）数学思维训练（十、盈亏问题2）

例1、某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人，就会空出4间宿舍。这个学校有多少间宿舍？要安排多少个新生？

练习1、学校组织同学去划船，如果每只船坐4人，则少3只船；如果每只船坐6人，还有2人站在岸边，共有多少条船？有多少人去划船？ 2、小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人多分6粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少个小朋友？有多少粒糖果？

3、某校组织学生活动，分成若干组，每组8人，后来改为每组12人，这样就减少每个组，有多少组？参加活动的有多少人？

4、校规定上午8时到校。王强上学去，如果每分钟走60米，可以提前10分钟到校；如果每分走50米，可以提前8分钟到校。问：王强什么时候离开家？他家离学校多远？

5、一个学生从家到学校，如果用每分50米的速度走，他会迟到4分；后来他改用每分60米的速度前进；结果早到学校5分。这个学生家到学校的路程是多少米？

1

练一练

1、学校发铅笔给三好学生，每人8支少15支，每人6支少7支，三好学生有多少个？铅笔有多少支？

2、三（1）班同学去公园

上楼梯问题的例题

例1：小明家住在六楼，小明家住在六楼，小华家住在4楼，每层楼之间楼梯的

级数都相同。小华回家共要走48级楼梯，问小明回家要走多少级楼梯？

例2：甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4层时，乙恰好跑到6层，如果两人跑楼

梯的速度保持不变。那么当甲跑到10层时，乙跑到了几层？

例3：有一幢28层的高楼，这幢楼的每两层之间有18级楼梯，张欣住在这幢楼

内，他到自己的家要走全部楼梯级数的九分之七，张欣住在几层楼？

例4：有一堆火柴共12根，如果规定每次取1~3根，那么取完这堆火柴有多少

种不同的取法?

例5：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在

行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2梯级，女孩每2秒钟向上走3梯级，结果男孩用40秒的时间，女孩用50秒钟的时间到达。问当扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有多少级？

上楼梯问题的课上A卷

1、小张从1楼上到5楼要36秒，照这样计算，他从2楼上到7楼需要多少秒？

2、小明和小英同住一幢楼，小明住在17楼，小英住在6楼，小明每天回家要走240极楼梯，大楼内相邻两层之间楼梯的级数相等，小英回家要走几级楼梯？

3、某人到10层大楼的第10层办事，不巧停电，电梯停开。如果从第一层走到第五层要68秒，那么以同样的速度

弹簧问题

一、分离点

1、质量为M=3kg的小车放在光滑的水平地面上，物块A和B的质量均为m=1kg，且均放在小车的光滑水平地板上，物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图所示。物块A和B并排靠在一起，现用力向右压B，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功135J，撤去外力，当AB A 和B分开后，在A达到小车地板的最左端位置之前，B已从小车左端抛出。求：B与A分离时，小车的速度是多大？

解析：A与B应在弹簧第一次恢复原长时分离，分离前A、B等速，设为vB，分离时小车速度为vM，则由动量守恒和机械能守恒，得：2mvB?MvM?01122?2mvB?MvM?EP?W22解得：vM?6m,vB?9mss

2、如图所示，一个弹簧台秤的秤盘和弹簧质量都不计，盘内放有一质量m=12kg并处于静止的物体P，弹簧劲度系数k=300N/m，现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始始终向上作匀加速直线运动，在这过程中，头0.2s内F是变力，在0.2s后F是恒力，则

(1)、物体P作匀加速运动的加速度大小为多少？ (2)、F的最小值、最大值分别为多少？

F P 解析：物体P与托盘分离的条件为相互间弹力为零。物体P与托盘分离前F

弹簧问题

一、分离点

1、质量为M=3kg的小车放在光滑的水平地面上，物块A和B的质量均为m=1kg，且均放在小车的光滑水平地板上，物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图所示。物块A和B并排靠在一起，现用力向右压B，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功135J，撤去外力，当AB A 和B分开后，在A达到小车地板的最左端位置之前，B已从小车左端抛出。求：B与A分离时，小车的速度是多大？

解析：A与B应在弹簧第一次恢复原长时分离，分离前A、B等速，设为vB，分离时小车速度为vM，则由动量守恒和机械能守恒，得：2mvB?MvM?01122?2mvB?MvM?EP?W22解得：vM?6m,vB?9mss

2、如图所示，一个弹簧台秤的秤盘和弹簧质量都不计，盘内放有一质量m=12kg并处于静止的物体P，弹簧劲度系数k=300N/m，现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始始终向上作匀加速直线运动，在这过程中，头0.2s内F是变力，在0.2s后F是恒力，则

(1)、物体P作匀加速运动的加速度大小为多少？ (2)、F的最小值、最大值分别为多少？

F P 解析：物体P与托盘分离的条件为相互间弹力为零。物体P与托盘分离前F