解析几何第四版吕林根pdf

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

§ 4.1柱面

1、已知柱面的准线为：

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ?x?y?z?2?0?且（1）母线平行于x轴；（2）母线平行于直线x?y,z?c，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0中消去x，得到：(z?y?3)?(y?3)?(z?2)?25 即：y2?z2?yz?6y?5z?此即为要求的柱面方程。

2223?0 2?x?y（2）取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0且平行于直线?的直线方程为：

z?c??x?x0?t??y?y0?t?z?z0?而M0在准线上，所以

??x0?x?t??y0?y?t ?z?z?0?(x?t?1)2?(y?t?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2t?2?0222上式中消去t后得到：x?y?3z?2xy?8x?8y?8z?26?0

此即为要求的柱面方程。

?x?y2?z22、设柱面的准线为?，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

x?2z?1,0,?2? 解：由题意知：母线平行于矢量?任取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0的母线方程为：

?x?

第一章 矢量与坐标

§1.3 数量乘矢量

4、 设AB?a?5b，BC??2a?8b，CD?3(a?b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB

∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．

6、 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM,

?????????????????????CN可 以构成一个三角形.

证明： ?AL?1(AB?AC) 21 BM?(BA?BC)

21 CN?(CA?CB)

21 ?AL?BM?CN?(AB?AC?BA?BC?CA?CB)?0

2OA?OB+OC=OL+OM+ON.

7.、设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 [证明] ?OA?OL?LA OB?OM?MB OC?ON?NC

?OA?OB?OC?OL?OM?ON?(LA?MB?NC) =OL?OM?ON?(AL?BM?CN)

第一章 矢量与坐标

§1.3 数量乘矢量

4、 设AB?a?5b，BC??2a?8b，CD?3(a?b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB

∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．

6、 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM,

?????????????????????CN可 以构成一个三角形.

证明： ?AL?1(AB?AC) 21 BM?(BA?BC)

21 CN?(CA?CB)

21 ?AL?BM?CN?(AB?AC?BA?BC?CA?CB)?0

2OA?OB+OC=OL+OM+ON.

7.、设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 [证明] ?OA?OL?LA OB?OM?MB OC?ON?NC

?OA?OB?OC?OL?OM?ON?(LA?MB?NC) =OL?OM?ON?(AL?BM?CN)

第五章 二次曲线一般的理论

§5.1二次曲线与直线的相关位置

1. 写出下列二次曲线的矩阵A以及F1(x,y)，F2(x,y)及F3(x,y).

x2y2x2y2（1）2?2?1；（2）2?2?1；（3）y2?2px；（4）x2?3y2?5x?2?0;

abab?1?a2?（5）2x2?xy?y2?6x?7y?4?0.解：（1）A??0??0????1?a2?11F1(x,y)?2xF2(x,y)?2yF3(x,y)??1；（2）A??0?ab?0???01b20?0??0?；???1????0??0?；???1???0?1b20?00?p?11??F1(x,y)?2xF2(x,y)??2y；F3(x,y)??1.（3）A??010?；

ab??p00?????1?F1(x,y)??p；F2(x,y)?y；F3(x,y)??px；（4）A??0?5??2??2?155F1(x,y)?x?；F2(x,y)??3y；F3(x,y)?x?2；（5）A????222????3?F1(x,y)?2x?5?2???30?；

?02??0?12??3??7?；?2??4???1721177y?3；F2(x,y)??x?y?；F3(x,y)??3x?y?4.

第一章 向量与坐标

§1.1 向量的概念

1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点

A F 2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，

在向量OA、OB、 OC、OD、OE、 OF、AB、BC、CD、 DE、EF B O E

和FA中，哪些向量是相等的？

C [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，

相等的向量对是： 图1-1

第1章 矢量与坐标

§1.1 矢量的概念

1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；

（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.

[解]：（1）单位球面； （2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心， 在矢量OA 、、 OC 、、、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、 和中，哪些矢量是相等的？

[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中， 相等的矢量对是： 图1-1

C .DE OF C

D O

E AB OC FA OB E

F OA 和；和；和；和；和

3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边

ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD

是空间四边形时，这等式是否也成立？

[证明]：如图1-2，连结AC , 则在ΔBAC 中， 21AC. KL 与方向相同；在ΔDAC 中，2

1AC . NM

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§1曲面的概念

1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，

为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直

母线。

证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }

表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;

v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }

表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,

绪 论

【0-1】 1m3水中溶解0.05kmol CO2，试求溶液中CO2的摩尔分数，水的密度为100kg/m3。 解 水1000kg/m3?1000kmol/m3 18 CO2的摩尔分数

x?0.05?8.99?10?4

10000.05?18【0-2】在压力为101325成，以摩尔分数

Pa、温度为25℃条件下，甲醇在空气中达到饱和状态。试求：(1)甲醇的饱和蒸气压pA；(2)空气中甲醇的组

yA、质量分数?A、浓度cA、质量浓度?A表示。

pA

解 (1)甲醇的饱和蒸气压

lgp(2) 空气中甲醇的组成

A?7.19736?1574.99 p25?238.86A?16.9kPa

摩尔分数

yA?16.9?0.167

101.3250.167?32?0.181

0.167?32?(1?0.167)?29质量分数

?A?浓度

cA?pA16.9??6.82?10?3 kmol/m3 RT8.314?298质量浓度

?A?cAMA=6.82?10?3?32?0.218 kg/m3

NaOH质量分数10%、NaCl的质量分数10%、H2O的质量分数80%，用真空蒸发器浓缩，食盐结

【0-3】1000kg的电解液中含晶分离后的浓缩液中含

NaOH

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义天下山峰佒关多，唯有此处峰成林

鸡肉汤圆刷把头杠子面饵块粑三合汤八音坐唱峡谷瀑布漂流油菜花天下田园何其多，然而，所谓田园风光者，多半是有田无山或有山无田，山青田丌秀或田秀山丌青，山环水丌绕或水绕山丌环。在兴义，纳灰村的农田不万峰林的山峦，田不山如此无瑕地组合，河不村这般美妙的统一，仿佛置身亍巨大的山水盆景之中。

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共义点睛马岭河峡谷位亍共义城东北6公里，马岭河収源亍之蒙山系白果岭，上游叨清水河，中游因两岸有马别大寨和马岭寨而称马岭河。它癿地貌结极不一般峡谷丌同，实际上是一条地缝，有人说返是“地球上最美丽癿伡疤”。安龙招堤招堤位亍安龙县城东北，为贵州省十大风景区乊一。始建亍庩熙三十三年 (公元1694年),由总兲招国遴倡议修建，敀名招堤，用石筑，长300体米，高、宽约4米。像一条长虹横亘亍平展癿田坝上，南端抵山脚。万峰林万峰林是国家级风景名胜区马岭河峡谷癿重要组成部分，由共义市东南部成千万座奇峰组成，气势宏大壮阔，山峰密集奇特，整佑造型完美，被丌少与家和游人誉为“天下奇观”。 Judy

01 02 05 06 07 08 09 11 12

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三、计算题

1. 在p?105Pa、t?30?C的环境下，SO2的体积浓度为C?0.5ppm，请问此环

境下SO2的质量浓度是多少？

2. 某厨房内产生的余热和余湿分别为Q?6kW、W?80g/s。现对房间进行全

面通风，以消除其余热和余湿。已知进气的温度和含湿量分别为t0?24?C、

d0?4g/kg干空气，排气的温度和含湿量分别不高于为tp?26?C、

dp?24g/kg干空气。如果空气的比热为c?1.01kJ/(kg??C)，请确定全面通风的通风量。

3. 某车间同时散发有害气体（CO和SO2）和热量，有害气体的发生量分别为：

XCO?120mg/s、XSO2?90mg/s，车间内余热量为Q?180kW。已知室外空气温度为tw?30?C，室内最高允许温度为tn?35?C。根据有关卫生标准知，车间内CO和SO2的最高允许浓度分别为yCO?30mg/m3和

ySO2?15mg/m3。如果设空气比热为c?1.01kJ/(kg??C)，空气密度为

??1.2kg/m3，安全系数K=6，请计算车间的全面通风量。

4. 某车间体积Vf =500m3，由于突然发生事故，一种有害物大量散入车间，散

发量为250mg/s，事故发生后5min被发现，立即开动事故风机，事故