材料力学压杆稳定公式

9-1(9-2) 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？

解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 与约束情况有关的长度系数。 （a） （b） （c） （d） （e） （f）

=1×5=5m =0.7×7=4.9m =0.5×9=4.5m =2×2=4m =1×8=8m =0.7×5=3.5m

最小，图f所示杆

最大。

成反比，此处，

为

故图e所示杆 返回

9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数

温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？ 解：

时安装在两个固定支座之间，

。试问当

返回

9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按

细长杆考虑），确定最小临界力

的算式。

解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：

（b）两根立柱一起作为下端固定而上

端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时

压 杆 稳 定

基 本 概 念 题

一、选择题

1. 如果细长压杆有局部削弱，削弱部分对压杆的影响有四种答案，正确的是（ ）。 A．对稳定性和强度都有影响 B．对稳定性和强度都没有影响

C．对稳定性有影响，对强度没有影响 D．对稳定性没有影响，对强度有影响 2. 图示长方形截面压杆，h／b = 1／2；如果将b改为h后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的（ ）倍。

A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 3. 细长压杆，若长度系数?增加一倍，

则临界压力Pcr的变化是（ ）。 题2图

A．增加一倍 B．为原来的四倍 C．为原来的四分之一 D．为原来的二分之一

4. 图示四根压杆的材料、截面均相同，它们在纸面内失稳的先后次序是（ ）。

题4图

A．（a）、（b）、（c）、（d） B．（d）、（a）、（b）、（c） C．（c）、（d）、（

压杆的稳定性1 压杆稳定的概念 2 细长压杆的欧拉临界压力 3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图 4 压杆的稳定计算 5 纵横弯曲的概念1

11.1 压杆稳定的概念

压杆的稳定性是指压杆保 持或恢复原有平衡状态的 能力

11.2 细长压杆的欧拉临界压力理想压杆的概念 完全对中等截面； 载荷作用无偏心； 光滑(球形)铰链。

在线弹性、小变形下，近似地， EIy M ( x) py

压杆的微弯必定发生在抗弯能力最小的纵向截面内， 所以惯性I应为截面最小的惯性矩Imin。P 2 引入记号： k ,改写为 y k y 0 EI2

通解为：3

y A sin kx B cos kx

边界条件: y(0)=0 , y(l)=0 (两端绞支), 即 A sin 0 B cos 0 0 A sin kl B cos kl 0 齐次方程邮非零解的条件， 0 1 nπ 0 sin kl 0 k sin kl cos kl l 由此可得，n 2 2 EI P l2

压杆的临界压力是使弯杆保持压 缩平衡状态的最小压力。

两端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式=〉 Pcr 压杆承受的压力达到临界

题型九：压杆稳定 autobot

(2000)七、图示一转臂起重机架ABC，其中AB为空心圆截面杆D=76mm，d=68mm，BC为实心圆截面杆D1=20mm，两杆材料相同，σp=200Mpa，σs=235Mpa，E=206Gpa。取强度安全系数n=1.5，稳定安全系数nst=4。最大起重量G=20KN，临界应力经验公式为σcr=304-1.12λ（Mpa）。试校核此结构。（15分）

1

题型九：压杆稳定 autobot

(2001)六、结构如图所示，横梁AC为T型截面铸铁梁。

已知其许用拉应力[σt]=40Mpa，许用压应力[σc]=160Mpa，IZ=800cm4，y1=5cm，y2=9cm，BD杆用A3钢制成，直径d=24cm，E=200Gpa，λp=100，λs=60，经验公式为σcr=（304-1.12λ）Mpa，稳定安全系数nst=2.5。试校核该结构是否安全？（12分）

2

题型九：压杆稳定 autobot

(2002)十、图示正方形桁架，五根杆均为直径d=5cm的圆截面杆，材料为A3钢，E=200Gpa，σp=200Mpa，σs=240Mpa，a=304Mpa，b=1.12Mpa，若取强度安全系数n=2，稳定安全系

第 九 章 压 杆 稳 定

一、选择题

1、一理想均匀直杆受轴向压力P=PQ时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。

A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯状态不变； D、弯曲变形继续增大。

2、一细长压杆当轴向力P=PQ时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形（ C ）

A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。

A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。

A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件；

C、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ）

6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。其柔度为 ( C )

A.60；

第 九 章 压 杆 稳 定

一、选择题

1、一理想均匀直杆受轴向压力P=PQ时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。

A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯状态不变； D、弯曲变形继续增大。

2、一细长压杆当轴向力P=PQ时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形（ C ）

A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。

A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。

A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件；

C、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ）

6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。其柔度为 ( C )

A.60；

欧阳音创编 2021.03.11

欧阳音创编 2021.03.11

第九章压杆稳

定

时间：2021.03.11 创作：欧阳音

一、选择题

1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q时处

于直线平衡状态。在其受到一微小横向干

扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干

扰力，则压杆（A）。

A、弯曲变形消失，恢复直线形状；

B、弯曲变形减少，不能恢复直线形

状；

C、微弯状态不变；

D、弯曲变形继续增

大。

2、一细长压杆当轴向力P=P Q时发生失稳

而处于微弯平衡状态，此时若解除压力

P，则压杆的微弯变形（C）

A、完全消失

B、有所缓和

C、

保持不变 D、继续增大

3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗

杆，是根据压杆的（D）来判断的。

A、长度

B、横截面尺寸

C、临界应力

D、柔度

4、压杆的柔度集中地反映了压杆的

（ A ）对临界应力的影响。

A、长度，约束条件，截面

尺寸和形状；

B、材料，长度和约束条

件；

C、材料，约束条件，截面

尺寸和形状；

D、材料，长度，截面尺寸

欧阳音创编 2021.03.11

欧阳音创编 2021.03.11

《材料力学》复习常用公式

F

一、 拉伸压缩：

1、 拉伸压缩正应力计算公式： =

A

2、 2、拉伸胡克定律：ε= L=

E

F

FLEA

ε′=-μ ε=

E

FαA

LL

3、 拉压杆斜截面上得胡克定律：Pα=α=

Aα

cosα = 0cosα 其

中Aα=A/cosα 正应力为 = Pαcosα= 0cos2α 切应力：τ= 0sin2α

21

4、 拉压杆强度计算：强度校核：

F

N，max

F

N，max

A

≤[ ] , 设计截面：A≥

[ ]

，确定工作载荷：FN≤ .A

二、 扭转：

1、 传动轴的外力偶矩计算：{M}N.m=2、 单位扭转角：

角：φ=

MeLGIρ

dφdx

{P}kw

{n}r/min

×9549

=

TGIρ

，长为L的一段杆两端面间的相对扭转

TρIρ

TWρ

3、 最大切应力：τmax= τmax=4、 对于实心圆：Iρ=

4

π

432

πd432

Wρ为扭转截面系数）

2IρD

, Wρ=

4

πd316

=

对于空心圆：Iρ=

4

2IρD

πd432

（1-α）=D d) ，Wρ=

πd316

（1-α）=

TmaxWρ

，其中α=D

d

5、 扭转强度计算：强度校核： τmax=6、 刚度条件：φ‘max≤[φ] 即：

TmaxGIρ

≤[τ] ，

压杆稳定

一、概念题

1．判断题：（以下结论对者画√，错者画×）

（1）直杆受压时的承载能力取决于它的强度是否足够。 （ ） （2）临界应力愈大，压杆愈容易失稳。 （ ） （3）压杆的柔度与压杆的材料无关。 （ ） （4）计算压杆临界力的公式是欧拉公式。 （ ） （5）压杆总是在?值大的纵向平面内失稳。 （6）两杆的材料、长度、截面积以及两端支撑均相同，它们的临界应力相同。 （7）细长压杆不易采用高强度钢来提高其稳定性。 （8）提高压杆稳定性的措施，实际上就是如何增大柔度的措施。 2．选择题：

（1）图示截面形状的压杆，设两端为铰链支承。失稳时（ ）

A、图（A）截面绕y轴转动； B、图（B）截面绕x轴转动； C、图（C）截面绕x轴转

第十章 压杆稳定

学时分配：共6学时

主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式法进行压杆稳定校核。

?，临

?cr?a?b?，使用安全系数

$10.1压杆稳定的概念

1．压杆稳定

若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳P P

2．临界压力

当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小干扰力 弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。

P P P 由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用

Pc?表示。

3．曲屈

受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。

$10.2细长压杆临界压力的欧拉公式

1．两端铰支压杆的临界力

选取如图所示坐标系xOy。距原点为x的任意截面的挠度为v。于是有

M??Pv

2．挠曲线近似微分方程：

将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得

?x lEIv''?M?x???Pv

k2?令 则有

PEI

v''?k2v'?0