jacobi迭代法

Jacobi

迭代法与Gauss-Seidel迭代

法算法比较

目录

1 引言 .............................................................................................................................................. 1

1.1 Jacobi迭代法 .................................................................................................................... 2 1.2 Gauss-Seidel迭代法 .......................................................................................................... 2 1.3 逐次超松弛（SOR）迭代法 ...................................................

介绍雅可比和高斯塞德尔迭代法

Jacobi与Gauss-Seidel迭代法

1. Jacobi(雅可比)迭代法

我们从形式入手学习J和GS迭代法。先使用雅可比方法： 8 1 2+ 3=1

例：解方程组 2 1+10 2 3=4

1+ 2 5 3=3

+1 = 1+ =0.125 1+ 2323 18 +1

1

解： 2= 4 2 1 + 3 =0.100 4 2 1 + 3

10

+1 = 1 3 + = 0.200 3 +

1212 35

1

初值 2=0.100×4=0.400

10=0.125×1=0.125

30= 0.200×3= 0.600迭代两步则有下表：

由解的过程我们可以轻松发现其规律并以公式的形式掌握。注意初值的设置要乘以等号后边的常数。

2. Gauss-Seidel(高斯塞德尔)迭代法

对上题再使用高斯塞德尔迭代法解方程组：

1

+1

1

=8 1+ 2 3 =0.125 1+ 2 3

1

解：

+1 = 1 3 +1 + +1

第24卷第3期2011年9月仲恺农业工程学院学报

JournalofZhongkaiUniversityofAgricultureandEngineeringVol．24，No．3

2011September，

Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的预处理

12

梁凯豪，高凌云

（1．仲恺农业工程学院计算科学学院，广东广州510225；2．暨南大学数学系，广东广州510225）

Seidel迭代法发散的线性方程组进行了相应的预处理，通过完全选主元的方法将线摘要：对部分Jacobi和Gauss-Seidel迭代收敛的目的．性方程组的系数矩阵对角最大化，从而达到Jacobi和Gauss-Seidel迭代法；预处理关键词：Jacobi迭代法；Gauss-中图分类号：O241.6

文献标识码：A

文章编号：1674－5663（2011）03－0044－03

Pre-processingtoJacobi＆Gauss-Seideliteration

LIANGKai-hao1，GAOLing-yun2

（1．CollegeofComputationalScience，ZhongkaiUniversityofAgricultureandEngineering，Guangz

第八章 解线性方程组的迭代法习题参考答案

1. 设方程组

(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性; (b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当||x终止． (k 1) 5x1 2x2 x3 12 x1 4x2 2x3 20 2x 3x 10x 323 1 x(k)|| 10 4时迭代

1. (a) Jacobi迭代矩阵

0.40.2 0 B D 1(L U) 0.2500.5 0.2 0.30

3特征方程为 | I B| 0.21 0.055 0

特征根均小于1，Jacobi迭代法收敛。

Gauss-Seidel迭代矩阵

00.40.2 G (D L) 1U 00.40.7 00.040.17

32| I G| 0.57 0.09 6 0 特征方程为

特征根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) Jacobi迭代格式为

X(k 1) BX(k) f1

1T其中B如上，f1 Db ( 1.250.3)，

迭代18次得

， X 3.99999642.99997391.9999999

Gauss-Seidel迭代格式为 T

X(k 1) GX(k) f2

1

西 安 邮 电 大 学

（计算机学院）

课内实验报告

实验名称 用迭代法解方程

专业名称： 计算机科学与技术 班 级： 学生姓名： 学号（8位） 指导教师：

实验日期： 2013年11月

一. 实验目的及实验环境

实验目的：编写程序，比较两种迭代法的优劣。 在MATLAB数学软件下求解 二. 实验内容

求下列方程的实根

(1) x^2-3x+2-e^x=0; (2) x^3+2x^2+10x-20=0.

要求：(1)设计一种不动点迭代法，要使迭代序列收敛，然后再用斯特芬森加速迭代，计算到|x(k)-x(k-1)|<10^(-8)为止。(2)用牛顿迭代，同样计算到|x(k)-x(k-1)|<10^(-8)。输出迭代初值及各次迭代值和迭代次数k，比较方法的优劣。 三．方案设计

1.在Matlab中直接求解

2.采用不动点迭代法、斯特芬森加速迭代和牛顿迭代法实现并比较优劣。 四．测试数据及运行结果

（1）先用画图的方法估计根的范围 ezplot('x^2-3*x+2-exp(x)'); grid on;

x2-3 x+2-exp(x)500-50-100-150-200-6-4-20x246

可以估计到方程的根在区间（0,1）;选取迭代初值为x0=0.5； 构造不动点迭代公式x(k+1)=( x(k)^2

实验二：迭代法、初始值与收敛性

一：实验要求

考虑一个简单的代数方程

x2 x 1 0,

针对上述方程，可以构造多种迭代法，

如xn 1 xn 1,xn 1 1

2

1xn

,xn 1 在实

轴上取初值，分别用以上迭代做实验，记录各算法的迭代过程。

二：实验要求及实验结果

（1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放

入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。

（2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初

值是否有差异？

实验内容：

ⅰ）对xn 1 xn 1进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行

2

实验，并画出迭代结果的趋势图。

编写MATLAB运算程序如下：

%迭代法求解 %令x=x^2-1 clear

n=30; x=-0.5;

x1=x^2-1; for i=1:n

end

m=linspace(0,29,n);

x1=x1^2-1; xx(i)=x

1. jacobi迭代法解方程组的MATLAB程序

function x=jacobi(a,b,x0,m)%a:系数矩阵 b:等号右边矩阵 x0:迭代初值 m:迭代次数 x_temp=x0; for k=1:m

for i=1:length(b) sum=0; for j=1:length(b) if(j~=i)

sum=sum+a(i,j)*x_temp(j); end end

x(i)=-(sum-b(i))/a(i,i); end x_temp=x; end 2.

gauss-seidel迭代法解方程组的MATLAB程序

function x=gaussseidel(a,b,x0,m) x=x0; for k=1:m

for i=1:length(b) sum=0; for j=1:length(b) if(j~=i)

sum=sum+a(i,j)*x(j);

1. jacobi迭代法解方程组的MATLAB程序

function x=jacobi(a,b,x0,m)%a:系数矩阵 b:等号右边矩阵 x0:迭代初值 m:迭代次数 x_temp=x0; for k=1:m

for i=1:length(b) sum=0; for j=1:length(b) if(j~=i)

sum=sum+a(i,j)*x_temp(j); end end

x(i)=-(sum-b(i))/a(i,i); end x_temp=x; end 2.

gauss-seidel迭代法解方程组的MATLAB程序

function x=gaussseidel(a,b,x0,m) x=x0; for k=1:m

for i=1:length(b) sum=0; for j=1:length(b) if(j~=i)

sum=sum+a(i,j)*x(j);

雅可比迭代法：

function x=jacobi(a,b,p,delta,n)

%a为n维非奇异矩阵；b为n维值向量

%p为初值；delta为误差界；n为给定的迭代最高次数 N=length（b）; for k=1:n

for j=1：N

x(j)=(b(j)-a(j,[1:j-1,j+1:N])*p([1:j-1,j+1:N]))/a(j,j); end

err=abs(norm(x’-p)); p=x’;

if(err

p %显示迭代过程 x=x’； k,err

高斯塞德尔法迭代：

function x=saidel(a,b,p,delta,n)

%a为n维非奇异矩阵；b为n维值向量

%p为初值；delta为误差界；n为给定的迭代最高次数 N=length（b）; for k=1:n

for j=1：N if j==1

x(1)=(b(1)-a(1,2:N)*p(2:N))/a(1,1); else if j=N

x(N)=(b(N)-a(N,1:N-1)*(x(1:N-1))’)/a(N,N); else

x(j)=(b(j)-a(j,(1:j-1)*x(1:j-1）-a

基于牛顿迭代法的圆形断面临界水深直接计算

学院：建筑工程学院学号：2111206052 姓名：王瑞峰

一、问题来源

圆形断面由于具有受力条件好、适应地形能力强、水力条件好等优点，已成为农田灌溉、城市给水排水等工程较常采用的断面形式。而临界水深的计算则是进行圆形断面水力计算的关键，但其计算较繁杂，要求解高次隐函数方程，且未知量包含在三角函数中，求解难度大。自20世纪90年代，对圆形断面临界水深的计算进行了大量研究，获得了较多成果。鉴此，本文应用牛顿迭代算法，得到一种较简洁且可提供高精度算法 程序的近似计算公式。

二、数学模型

相应于断面单位能量最小值的水深称为临界水深，其计算公式为：

需满足的临界流方程为：

其中

式中，d为洞径；为临界水深对应的圆心角，rad；n为流速分布不均匀系数(不特殊说明时取1.0)；Q为流量，m3Is；g为重力加速度(通常取9.81 m/s2)；分别为临界流对应的过水断面面积和水面宽度。

无压流圆形断面的水力要素见图1

将式(1)、(3)、(4)代入式(2)得：

将式(5)整理即得临界水深的非线形方程：

由此可知．式(6)为临界水深h。的高次隐函数方程，且未知量包含在三角函数中。即圆形断面临界水深的求解即为式(6)