差分方程的通解
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差分方程模型
幻灯片1
第七章 差分方程模型
7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长
幻灯片2
7.1 市场经济中的蛛网模型
供大于求
价格下降
减少产量
现 象
数量与价格在振荡
供不应求
增加产量
价格上涨
描述商品数量与价格的变化规律 问 题
商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
幻灯片3
蛛 网 模 型
xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
yk?f(xk) 减函数
需求函数
供应函数
生产者的供应关系
增函数
xk?1?h(yk)
yk?g(xk?1)
y
f 0
x
g
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点
y0
P0
x0
一旦xk=x0,则yk=y0,
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
幻灯片4
yk?g(xk?1)
yk?f(xk)
蛛 网 模 型
设x1偏离x0
xk?1?h(yk)
x1?y1?x2?y2?x3??
xk?x0,yk?y0
xk?x0,yk?y0
差分方程模型
幻灯片1
第七章 差分方程模型
7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长
幻灯片2
7.1 市场经济中的蛛网模型
供大于求
价格下降
减少产量
现 象
数量与价格在振荡
供不应求
增加产量
价格上涨
描述商品数量与价格的变化规律 问 题
商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
幻灯片3
蛛 网 模 型
xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
yk?f(xk) 减函数
需求函数
供应函数
生产者的供应关系
增函数
xk?1?h(yk)
yk?g(xk?1)
y
f 0
x
g
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点
y0
P0
x0
一旦xk=x0,则yk=y0,
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
幻灯片4
yk?g(xk?1)
yk?f(xk)
蛛 网 模 型
设x1偏离x0
xk?1?h(yk)
x1?y1?x2?y2?x3??
xk?x0,yk?y0
xk?x0,yk?y0
差分方程模型
模型1 蛛网模型
经济背景与问题:在自 由市场经济中,有些商品的生产、销售呈现明显的周
期性。农业产品往往如此,在工业生产中,许多商品的生产销售是有周期性的,表现在:商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的,因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中,我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标,它们是整个经营过程中的核心因素,要想搞好经营,取得良好的经济效益,就必须把握好这两个因素的规律,作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律,如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。 模型假设与模型建立
将市场演变模式划分为若干段,用自然数n来表示; 设第n个时段商品的数量为
,价格为
,n=1,2….;
由于价格与产量紧密相关,因此可以用一个确定的关系来表现:即设有
(3. 3)
这就是需求函数,f 是单调减少的对应关系; 又假设下一期的产量
是决策者根据这期的价格决定的,即:设
,
h是单调增加的对应关系, 从而,有关系:
(3.4)
g 也是单调增加的对应关系. 因此可以建立差分方程:
(3.5) (3.6)
这就是两个差分方程。属
差分方程(word97-03)
差分方程及高等数学在经济学中的应用
前面我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型,但在经济管理或其它实际问题中,大多数变量是以数列形式变化的,如银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息,国家财政预算按年制定等。通常称这类变量为离散型变量。对这类变量,我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系,如递推关系等。描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型。求解这类模型就可以得到离散型变量的变化规律。本章将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型——差分方程。
用数学方法解决实际问题,首先要构建该问题的数学模型,即找出该问题的函数关系。然后再用数学方法结合经济意义进行求解,解释经济意义,以期对经济运行进行分析干预。本章我们还将通过介绍几种常用的经济函数的建立及求解,以期引导学生掌握分析解决具体经济问题的思想方法。
§1 差分方程及其在经济学中的应用
本节主要介绍差分方程的概念、性质及求解。重点掌握一阶差分方程的求解。 一、差分的概念与性质
一般地,在连续变化的时间范围内,变量y关于时间t的变化率是用dy来刻画的;对离散型的变量y,
dt我们常取在规定的时间区间上的差商?y来刻画变量y的变化率。如果选择?t?1,则
微分方程与差分方程_详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程
常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分,是描述客观规律的一种重要方法,是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具,微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容,每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题,既是重点,也是难点,在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念;变量可分离的方程;齐次方程;一阶线性方程;伯努利(Bernoulli)方程;全微分方程;可用简单的变量代换求解的某些微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常系数齐次线性微分方程;高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;欧拉(Euler)方程;微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念;变量可分离的方程;齐次方程;一阶线性微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常数齐次线性微分方程;高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念,如阶、解、通解、特解、定解条件等,掌握几类方程的解法:如变量可
微分方程与差分方程_详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程
常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分,是描述客观规律的一种重要方法,是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具,微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容,每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题,既是重点,也是难点,在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念;变量可分离的方程;齐次方程;一阶线性方程;伯努利(Bernoulli)方程;全微分方程;可用简单的变量代换求解的某些微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常系数齐次线性微分方程;高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;欧拉(Euler)方程;微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念;变量可分离的方程;齐次方程;一阶线性微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常数齐次线性微分方程;高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念,如阶、解、通解、特解、定解条件等,掌握几类方程的解法:如变量可
动态经济学的微分方程和差分方程案例
市场需求函数由下式给出:
qtD=A+Bpt
其中,qtD为t时刻的需求量,pt是t时刻的市场主导价格
我们假定供给决策是在产品上市的前一期做出的。因此,t时期市场的共给量是在t-1时期以供应商预期的未来市场价格为基础决定的。令Et?1(pt)表示预期价格,那么时期t的供应量由下式给出:
qtS=F+GEt?1(pt)
为了使模型更加的完整,我们需要指定预期价格的形成方式。在基本的蛛网模型中,我们假定
Et?1(pt)=pt?1
这意味着,供应商预期下一期的市场价格等于当前的市场价格。
假定在每一期价格都会调整到市场出清水平,那么每一期的供给和需求都相等。这意味着
A+Bpt= F+GEt?1(pt) 重新整理,可以求得pt:
pt=
GF?Apt?1? (18.8) BB该式说明,价格的时间路径服从一个一阶线性自治差分方程(以t和t-1,而不是t和t+1的项表示)。稳态价格p可以通过令pt=pt?1=p求得。
按照上述做法,我们求得
p=
A?F G?B注意,稳态价格也是使供给和需求相等时的价格。
比较等式(18.8)和等式(18.1),我们知道
差分方程在数学模型中的几个应用
差分方程在数学模型中的应用
皇甫慧 20101104821
数学科学学院 数学与应用数学专业 10级2班
指导老师 李伟军
摘要:差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学
研究和生产实际中,经常碰到处理对象涉及的变量是连续的,但从建模的目的考虑,把连续变量离散化处理,从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题。
关键字:差分、变量、模型
1.种群生态学中的虫口模型:
在种群生态学中,考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ,他的变化规律是:每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡,第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型假设与模型建立:假设第n年的虫口数目为Pn,每年一个成虫平均产
Pn?1?cPn,卵c个(这个假设有点粗糙,应当考虑更具体的产卵分布状况),则有:
这是一种简单模型;如果进一步分析,由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁,第n+1年的成虫数会减少,如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗,由于虫子配对数为而有:
2Pn?1?cPn?bPn
112pn(pn?1)?pn,故减少数应当与它成正比,从22这个
:xn?1??xn(1?xn)一阶非线性差分方程。这个模型
差分方程在数学模型中的几个应用
差分方程在数学模型中的应用
皇甫慧 20101104821
数学科学学院 数学与应用数学专业 10级2班
指导老师 李伟军
摘要:差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学
研究和生产实际中,经常碰到处理对象涉及的变量是连续的,但从建模的目的考虑,把连续变量离散化处理,从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题。
关键字:差分、变量、模型
1.种群生态学中的虫口模型:
在种群生态学中,考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ,他的变化规律是:每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡,第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型假设与模型建立:假设第n年的虫口数目为Pn,每年一个成虫平均产
Pn?1?cPn,卵c个(这个假设有点粗糙,应当考虑更具体的产卵分布状况),则有:
这是一种简单模型;如果进一步分析,由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁,第n+1年的成虫数会减少,如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗,由于虫子配对数为而有:
2Pn?1?cPn?bPn
112pn(pn?1)?pn,故减少数应当与它成正比,从22这个
:xn?1??xn(1?xn)一阶非线性差分方程。这个模型
差分方程在数学模型中的几个应用
差分方程在数学模型中的应用
皇甫慧 20101104821
数学科学学院 数学与应用数学专业 10级2班
指导老师 李伟军
摘要:差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学
研究和生产实际中,经常碰到处理对象涉及的变量是连续的,但从建模的目的考虑,把连续变量离散化处理,从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题。
关键字:差分、变量、模型
1.种群生态学中的虫口模型:
在种群生态学中,考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ,他的变化规律是:每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡,第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型假设与模型建立:假设第n年的虫口数目为Pn,每年一个成虫平均产
Pn?1?cPn,卵c个(这个假设有点粗糙,应当考虑更具体的产卵分布状况),则有:
这是一种简单模型;如果进一步分析,由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁,第n+1年的成虫数会减少,如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗,由于虫子配对数为而有:
2Pn?1?cPn?bPn
112pn(pn?1)?pn,故减少数应当与它成正比,从22这个
:xn?1??xn(1?xn)一阶非线性差分方程。这个模型