独立事件与互斥事件的概率计算

互斥事件和独立事件的概率及条件概率

【知识要点】

1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B为 ．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．

2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝ =

条件概率具有以下性质：(1) ；

(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ . 3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的 没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件． 4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是 事件．

5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为 .

6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝ ．

【基础检测】

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )

A．恰有1个白球与恰有2个白球 B．至少有1个白

互斥事件相对立事件的概率与几何概型

1．从装有黑球和白球各2个的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A．至少有1个黑球，至少有1个白球 B．恰有一个黑球，恰有2个白球 C．至少有一个黑球，都是黑球 D．至少有1个黑球，都是白球

2．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，

生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是 （ ）．A．0.873 Ｂ．0.13 Ｃ．0.127 Ｄ．0.03

3．一批零件共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，若第2次取

到合格品的概率是p2，第1次取到合格品的概率是p1，则（ ） A． p2>p1 B． p2=p1 C． p2

5．在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于

25 cm2与49 cm2之间的概率为（ ）

6．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂

色，每个图形只能涂一种颜

条件概率与事件的独立性

一．知识归纳

1.P(B|A)?P(AB)P(A)?n(AB)n(A).

2.独立事件：A,B的发生互不影响的两个事件，其中：P(AB)?P(A)P(B). 3.独立重复试验：独立重复试验某个事件（其中P(A)?P)n次发生k次的概率为： Pn(k)?Cnkpk(1?p)n?k。

二．练习精讲

1.已知P(AB)? A.9310,P(A)?35,则P(B|A)?( B ) 94252102.甲、乙两个城市位于长江中下游，根据一百年的记录知道，一年中雨天的比例，甲市为

B.1 C. D.

1

20%，乙市为18%，两市同时下雨的天数占12%，则（1）乙市下雨时甲市也下雨的概率为 __

__________.

353.在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则（1）第一次 抽到理科题的概率为___

352___;（2） 甲市下雨时乙市也下雨的概率为___

3______.（2）第1、2次都抽到理科题的概率为_____

1310_________.

(3)在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为____

_________.

互斥事件有一个发生的概率与条件概率

【考纲要求】

1、了解两个互斥事件的概率加法公式.

2、了解条件概率及其公式。

【基础知识】 一、互斥事件有一个发生的概率

1、并事件：如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并 事件（或称和事件），记作A B（或A＋B）.

2、交事件：如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交 事件（或称积事件），记作A B（或AB）.

3、互斥事件

(1)互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，即A B= 。 一般地，如果事件A1，A2， ，An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1，A2， ，An彼此互斥。

(2)互斥事件的概率：如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)=P(A)＋P(B)；如果事件A1，A2， ，An中

的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1，A2， ，An彼此互斥，则

P(A1＋A2＋ ＋An)=P(A1)＋P(A2)＋ ＋P(An (3)对立事件: 如果事件A、B互斥，在一次试验中，必然有一个发生的互斥事件，叫对立事件，即 A B= ，A B为必然事件，事件A的对立事件记为A

条件概率与事件的独立性

条件概率与事件的独立性

教学目标：1、理解条件概率的概念和两个事件相互独立的概念，以及如

何求条件概率

2、正确求出条件概率必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A

发生并且事件B也发生”及“事件B在事件A发生的条件

下发生”

3、判断两个事件是否独立，以及如何求相互独立事件同时发

生的概率

一、自主预习：

1、条件概率： 2、事件A与B的交（或积） 3、条件概率公式 4、相互独立事件

二、课前自测

1、抛掷红、蓝两颗骰子，设：事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”

事件B=“两颗骰子的点数之和大于8”问在事件A发生的条件下事件B发生的概率？

条件概率与事件的独立性

2、把一枚 硬币任意抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件Ｂ＝“第二次出现反面”，求Ｐ（Ｂ︱Ａ）

三、自主探究，合作学习

例1 一个家庭有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？

练习：假定生男孩或生女孩是等可能的，在一个有3个孩子的家庭中，已知有一个 男孩，求至少有一个女孩的概率？

例2 设某种动物由出生算起活到20岁的概率是0.8，活到25的概率

概率统计

Ch1-83

§1.4 事件的独立性事件的独立性 例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球. 设第 i 次 取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) . 求P( A1) , P( A2 ) ,

P(A2 A ), P( A2 A1 ) , 1P(A2 A ) = 3/ 8, 1

解 P( A ) = 3 / 8 = P( A2 ) , 1P( A2 A1 ) = 3 / 8,

P( A2 A1 ) = P( A2 ) = P( A2 A1 )

概率统计

Ch1-84

事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立

P(A A2) = (3/ 8) = P(A )P(A2 A ) = P(A )P(A2) 1 1 1 12

定义 设 A , B 为两事件，若

P ( AB ) = P ( A) P ( B )则称事件 A 与事件 B 相互独立

概率统计

Ch1-85

两事件相互独立的性质两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的 若 P ( A) > 0, 则P ( B ) = P ( B A) 若 P ( B ) > 0, 则 P ( A) = P ( A B ) 若 P ( A)

第3章 概 率 3.1事件与概率 3.1.1 随机现象 3.1.2 事件与基本事件空间

一．学习目标：了解随机现象的概念，掌握基本事件和基本事件空间的的概念；在实际问题中，正确的求出某试验中事件A包含的基本事件的个数和基本事件空间中包含的基本事件个数。 二．课堂实录：

三．课内练习：

1.判断下列现象是必然现象还是随机现象。 （1）早晨，太阳从东方升起；

（2）某电话交换台在单位时间内收到用户呼唤的次数； （3）检查流水线上一件产品，是合格品还是不合格品。 2.判断下列事件是必然事件，随机事件，还是不可能事件。 （1）某出租车司机驾车通过几个交通路口都将遇到绿灯； （2）一个电影院某天的上座率超过5000； （3）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于12； （4）若x为实数，则x?1?1

3.一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中取出2个，观察球的颜色；

（1）写出这个试验的基本事件空间 （2）“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件

4.从1，2，3，5中任取2个数字作为直线Ax?By?0的系数A,B （1）写出这个试验的基本事件空间；

（2）写出“这条直线的斜率大于?1”这一事件所包含的基本事件

12-02 互斥事件有一个发生的概率

点一点——明确目标

理解互斥事件、对立事件的意义，掌握互斥事件发生的概率加法公式.

做一做——热身适应

1.（2004年东北三校模拟题）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为________.

解析：（1）先摸出白球，P白=C1，再摸出黑球，P2再摸出白球，P

1225白黑

=C1C13；（2）先摸出黑球，P黑=C13，2黑白

=CC，故P=

1312C2C3C5C51111+

C3C2C5C51111=

1225.

答案：

2.有10张人民币，其中伍元的有2张，贰元的有3张，壹元的有5张，从中任取3张，则3张中至少有2张的币值相同的概率为________.

解析：至少2张相同，则分2张时和3张时，故P=

34C2C8?C3C7?C5C5?C3?C5C10321212133=

34.

答案：

3.两个事件互斥是这两个事件对立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 解析：根据定义判断.

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案：B

4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概

一、随机事件和概率

数学一、数学三和数学四的考试大纲、内容和要求完全一致．

Ⅰ 考试大纲要求

㈠ 考试内容

随机事件和样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验

㈡ 考试要求 事件及其概率的基本概念、基本公式和求事件概率的方法． 1、了解基本事件空间（样本空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系和运算及其基本性质；

2、理解事件概率、条件概率的概念和独立性的概念；掌握概率的基本性质和基本运算公式；掌握与条件概率有关的三个基本公式（乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式）．

3、掌握计算事件概率的基本计算方法：

(1) 概率的直接计算：古典型概率和几何型概率；

(2) 概率的推算：利用概率的基本性质、基本公式和事件的独立性，由较简单事件的概率推算较复杂事件的概率．

(3) 利用概率分布：利用随机变量的概率分布计算有关事件的概率．

4、理解两个或多个（随机）试验的独立性的概念，理解独立重复试验，特别是伯努利试验的基本特点，以及重复伯努利试验中有关事件概率的计算．

Ⅱ 考试内容提要

㈠ 随机试验、随机事件与基本

相互独立事与独件立重实复验工具

第部分一知识题专训

练1.条

概率 在事件件 发A生条的下件事， B件发 的概率生为 P记AB n A B PB(|A),计其公式算 为PB|A)=(= . AP n A 2 .相 互独 立事件 同 时 发 生的概 P(AB率 ) =P()· P(BA).工具

第一分部知识专题训练

.独立重复试3验 一地般在相同，件下条复重的 做n 试次称验为n 次独重立试验.复 果如件 事 在一A试验次发中生概率的是p 那么它，在 n 次 独重立复验试中好发生恰k 的概率次为 nPk()k Cnp=k1-p(n)-.k工具

第部分一

知识专题训

1.注练区分意互事件和相斥互立事件独，互斥事 是在同件一验中不试能同时可发的两生事个，相互 独件立事是指件个几事的件发生与互不影响.否然 当可以同发时. 2生注意辨别.立重独复试的基本特征：验①在每次 试验中，验试结只果有生发不与生两种发情况； 在每②试次中，验件事生发概的率同相

工具.第一部分

识知专题练训

.1投掷一枚匀硬均币一和枚均匀骰子各一次记 ，“硬币正面向”为上事 件A,“ 子骰上的向点是数3 为事” 件B则事，件 AB,中至 有少一发生个 概率的是