哈工大概率论同步训练答案

概率论课程设计论文

1104202班 1110420211 蒋瑞晔

概率论在不等式中的应用

摘要：应用概率方法证明不等式，是个很有用的方法，建立适当概率模型，选择合适

的公式使不等式的证明得到简化。本文主要研究了应用概率论的方法证明代数不等式、积分不等式和相关理论的应用。

关键字：概率论 不等式 证明 广义积分

概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它有自己独特的概念和

方法，内容丰富，应用广泛。不等式是数学中一项非常重要的内容，它的应用也相当广泛，尤其是不等式的证明在数学中也越来越受到人们的重视 。因为把概率论的思想方法渗透到高等数学的中, 有助于加深和巩固对高等数学和概率论知识的

［1］

理解掌握, 了解各学科之间的紧密联系, 提高分析问题和解决问题的能力。

马尔科夫不等式是许多概率不等式的基础，从马尔科夫不等式很容易得到切比雪夫不等式，从切比雪夫不等式得到大数定理，大数定理从理论上解释了用频率近似地作为事件发生概率的基本思想。中心极

第一章练习题

1. 如图，设１、２、３、４、５、６表示开关，用Ｂ表示“电路接通”Ai表示“第i个开关闭合”请用Ai表示事件B

解：

B?A1A3?A2A3?A4?A5A6

2.一大型超市声称,进入商店的小偷有60%可以被电视监测器发现,有40%被保安人员发现,有20%被监测器和保安人员同时发现,试求小偷被发现的概率.

解：设事件A1表示被监测器发现，事件A2表示被保安人员发现，B表示小偷被

设事件A1表示被监测器发现，A2表示被保安人员发现，B表示小偷被发现。发现。

P（B）?P（A1?A2）?P（A1）?P（A2）?P（A1A2）?0.6?0.4?0.2?0.8

3. 周昂，李虎和张文丽是同班学生.如果他们到校先后次序的模式的出现的可能性是一样的，那么周昂比张文丽先到校的概率是多少？

2解：三人到校先后共有3！种情形，周昂比张文丽先到校有C3种情形。

2mC3P???0.5

n3!

4.甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年来,气象的记录,知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问

(1) 乙市为雨天时,甲市为雨天的概率是多少? (2) 甲市为雨天时,乙市为雨天的概率是多少? (3) 甲、乙两

第一章练习题

1. 如图，设１、２、３、４、５、６表示开关，用Ｂ表示“电路接通”Ai表示“第i个开关闭合”请用Ai表示事件B

解：

B?A1A3?A2A3?A4?A5A6

2.一大型超市声称,进入商店的小偷有60%可以被电视监测器发现,有40%被保安人员发现,有20%被监测器和保安人员同时发现,试求小偷被发现的概率.

解：设事件A1表示被监测器发现，事件A2表示被保安人员发现，B表示小偷被

设事件A1表示被监测器发现，A2表示被保安人员发现，B表示小偷被发现。发现。

P（B）?P（A1?A2）?P（A1）?P（A2）?P（A1A2）?0.6?0.4?0.2?0.8

3. 周昂，李虎和张文丽是同班学生.如果他们到校先后次序的模式的出现的可能性是一样的，那么周昂比张文丽先到校的概率是多少？

2解：三人到校先后共有3！种情形，周昂比张文丽先到校有C3种情形。

2mC3P???0.5

n3!

4.甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年来,气象的记录,知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问

(1) 乙市为雨天时,甲市为雨天的概率是多少? (2) 甲市为雨天时,乙市为雨天的概率是多少? (3) 甲、乙两

练习一

一、填空（3×5分，将正确答案填在横线上）

1．若A B，A C，P(A) = 0.9，P(B∪C) = 0.8，则P(A － B C) = ．

解 A BC,P(A BC) P(A) P(BC) 0.9 [1 P(B C)] 0.7

．

(ni{,}XY0)2．设X、Y为随机变量,已知P(X 0,Y 0) 2，则Pm

5

解 P(min{X,Y} 0) 1 P(min{X,Y} 0) 1 P(X 0,Y 0)

3．设X ～ U（0 ，2），则Y = X

y 0时,FY(y) P(X

2

2

的概率分布密度为

．

y) P( X

fX(x)dx; y 0时,FY(y) 0

y

4

fXy 0,y 0 [ y 0解fY(y) 0 ,y 0

0 ,y 0 0 ,y 0

4．设（X ，Y）～ N ( 1

， 2， 1，

2

2

222

，0) ，则 E(X

2

Y) =

2 ．

解 因(X,Y)~N( 1, 2, 1, 2,0),且 0,所以X,Y独立；

E(XY) E(X)E(Y) [D(X)

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

西安交大概率论上机实验报告matlab代码 有数字特征 等内容

实验三 数字特征等内容

一、实验目的

1.熟练掌握MATLAB软件的基本操作

2.更深刻理解数字特征及之后的知识

二、实验要求

教材p101 11 ，13仅E(X-2Y+3)，14 ，22，26 3 教材p139 7

4教材 p175 27，28，30

5 教材 p198 2，3-

6教材 p198 在下列两题中任意选一题

（1） p198 6，8

（2） p198 10

三、实验内容

1) 教材p101 11

>>clear;syms x;

fx=0.25*exp(-0.25*x);

EY=int(-300*fx,x,0,1) + int(100*fx,x,0, inf)

结果：

EY =300*exp(-1/4)-200

2) 教材p101 13仅E(X-2Y+3)

>> clear;syms x y;

fxy= (x+y)/3;

Ex=int(int(fxy*x,y,0,1),x,0,2)

Ey=int(int(fxy*y,y,0,1),x,0,2)

Ez=Ex- Ey*2+3

结果：

Ex =11/9

Ey =5/9

Ez =28/9 //z=X-2Y+3

3) 教材p

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律

一、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f?x,y??A?x2?y?12?2 .

求：（1）系数A；（2）数学期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，协方差cov(X,Y)． 解: (1) 由??????????f(x,y)dxdy?1. 有

A2???x?????????y?12?2dxdy?A?2?0d???r0??r2?1?2dr??A?1

解得, A?1?.

(2) E(X)???????????xf(x,y)dxdy???1????dy???x???x2?y?12?2dx?0.

由对称性, 知 E(Y)?0. D(X)?E[(X?EX)]?EX22???????0??????xf(x,y)dxdy?221??????dy???x222???x12?y?1???dx

?1??2?0d????r320?r2?1?dr?2?r(1?r)?r?r??2?1?2dr?[ln(1?r)

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯