压缩映射不动点定理证明

不动点定理及其应用

摘 要 不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给

出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.

关键词 不动点;不动点定理;Banach空间

Fixed Point Theorems and Its Applications

Abstract The fixed point theorem is one of important tools in

studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point

摘 要

本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.

关键词 ：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.

Abstract

This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing

摘 要

本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.

关键词 ：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.

Abstract

This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing

第一章 度量空间

1.5 Banach不动点定理及应用

巴拿赫不动点定理(Banach Fixed Point Theorem)，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．

1.5.1 Banach不动点定理及推论

定义 1.5.1 不动点(Fixed points)

设X是一个非空集合，A:X?X为映射，如果存在x??X满足A(x?)?x?，则称x?为映射A的不动点．

例如(1)从R到R上的映射f:x?x2有两个不动点，即x?0和x?1．(2)从R2到R2上的映射f:(x,y)?(y,x)有无穷多个不动点，即直线y?x上的所有点均是不动点．

设f是空间X到自身的映射，方程f(x)?0的求解可转化为求映射

T:x??f(x)?x

的不动点，其中常数??0(显然当Tx??x?时，即?f(x?)?

教案二 不动点与压缩映射原理（简介）

不动点与压缩映射原理（简介）(教材：第二章 §5） 四、解方程举例

例9 用不动点方法讨论方程

(29)

的根的存在性，并用迭代法求其根． 分析：设

．由

，

，

不难用初等微积分方法获得曲线

内有唯一实根

．

的形状如下图所示,且知道方程(29)在

改用不动点方法来讨论，设 由于

，因此在

上

，

．

(30)

不满足压缩映射的条件之(i)．至于条

件之（ii），对于一元函数可用微分中值定理来检验．由于

，

，

故难以由此来确定是否满足（ii）．事实上，由 可知

在

上确实不满足定义7的(ii)．

,

解：先对原方程（29）作变形，例如把它改写成 且令

．

（31）

；

(29)ˊ

此时，由

推知

在

上递增，而当

，

时，有

，

．再由

即

又知 从而

所以，（31）式所示的点

；且由

在，恒有

，，

．

．

上为一压缩映射，它在

，迭代收敛于

中存在唯一不动

，对任一

．

显然,把方程(29)改写成(29)ˊ的做法不是唯一的．例如，再把(29)改写成 且令

(32)

(29)″

；

．

同理可以验证：在

题目：压缩映射原理及应用

压缩映射原理是泛函分析一个最常用、最简单的存在性定理。它不仅论证了不动点的存在性和唯一性，同时也给出了求不动点的方法——逐次逼近法。即在完备的度量空间中，通过构造一个映射，利用逐次逼近的方法，使其满足压缩映射原理的条件。用它可以处理数学某些方面应用具体实例，对难以用传统方法解决的问题有重要的理论意义。

不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体上的映射. 1909 年, 荷兰数学家布劳维创立了不动点理论. 在此基础上, 不动点定理有了进一步的发展, 并产生了用迭代法求不动点的迭代思想. 美国数学家莱布尼茨在1923 年发现了更为深刻的不动点理论, 称为莱布尼茨不动点理论. 1927 年, 丹麦数学家尼尔森研 究不动点个数问题, 并提出了尼尔森数的概念. 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算 尼森数的情形, 并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理.

不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射, 而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题. 最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Banach), 他于1922 年提出的压缩映像原理发展了迭代思想, 并给出了Banach 不动点定理. 这

题目：压缩映射原理及应用

压缩映射原理是泛函分析一个最常用、最简单的存在性定理。它不仅论证了不动点的存在性和唯一性，同时也给出了求不动点的方法——逐次逼近法。即在完备的度量空间中，通过构造一个映射，利用逐次逼近的方法，使其满足压缩映射原理的条件。用它可以处理数学某些方面应用具体实例，对难以用传统方法解决的问题有重要的理论意义。

不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体上的映射. 1909 年, 荷兰数学家布劳维创立了不动点理论. 在此基础上, 不动点定理有了进一步的发展, 并产生了用迭代法求不动点的迭代思想. 美国数学家莱布尼茨在1923 年发现了更为深刻的不动点理论, 称为莱布尼茨不动点理论. 1927 年, 丹麦数学家尼尔森研 究不动点个数问题, 并提出了尼尔森数的概念. 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算 尼森数的情形, 并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理.

不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射, 而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题. 最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Banach), 他于1922 年提出的压缩映像原理发展了迭代思想, 并给出了Banach 不动点定理. 这

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无税收条件下的MM定理 1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

? 不考虑税收；

? 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ? 无关联交易存在；

? 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

? 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；

不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

? 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ? 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

? 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且

对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能

学习目标: (1)理解什么是定理和证明. (2)知道如何判断一个命题的真 假.

学习重点: 理解证明要步步有据.

问题1 请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些 是假命题？

(1)在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行 线中的一条，那么也垂直于另一条； (2)如果两个角互补，那么它们是邻补角； (3)如果 a b ,那么a=b; (4)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行； (5)两点确定一条直线.

1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践 中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真 假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用 逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以 进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的 真命题叫做定理。

公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。

定理问题1中的(1)(4)(5)它们的正确性是经过推 理证实的，这样得到的真命题叫做定理(theorem). 定理也可以作为继续推理的依据. 问题2 你能写出几个学过的公理和定理吗？

公理举例： 1、直线公理： 经过两点有且只有一条直线。 2、线段公理： 两点的所有连线中，线段最短。 3、平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条 直线与

第1篇：不动产权登记证办理流程

不动产权登记证（林木）办理流程

一、外业测量:由拥有林业测量资质的单位进行现地测量、乡（镇）林业站、村民委员会代表、边界毗邻人到林地认定。

二、到国土资源局落图确认林地权属。（由市林业局林政科、林业测量资质单位、申请权利人）.

三、林业测量资质的单位出具《宗地图》，签定《边界毗邻协议书》并出具边界毗邻身份证复印件(边界毗邻身份证复印件上本人签写边界清楚，无争议并签字按手印）。

四、1.权属为国有林地的应与乡（镇）林业站签署林地承包合同。

2.权属为集体林地的应与村民委员会签定林地承包合同。

五、到林地所在地进行公示并有公示照片（公示期为申请之日起15个工作日）

六、上报市林业局林政科由林政科进行组建不动产权登记（林木）登记档案。组建档案其中包括1.林业调查申请表。2.造林承包合同。3.不动产权地籍调查表。4.毗邻认定书。5造林验收证明（由所在地签署）6.林地林木权属证明。7.林业测绘成果表。8.承诺书。9.公示照片。10.申请权利人身份证复印件。11.毗邻人身份证复印件。12.林业测量资质单位出具《林业调查规划设计资质证书》复印件；集体林地应提交村民代表大会会议纪要、介绍信等相关材料。注：（退耕还林应提交退耕还林证复印件）。