高考数学平面向量考点

1 平面向量的数量积

【考点梳理】

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)几何意义：数量积a 2b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．

2．平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a 2b ＝b 2a ；

(2)数乘结合律：(λa )2b ＝λ(a 2b )＝a 2(λb )；

(3)分配律：a 2(b ＋c )＝a 2b ＋a 2c .

3．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.

考点一、平面向量数量积的运算

【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →2BC →的值为( )

A ．－58

B ．18

C ．14

D ．118

(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →2AP →的最大值为

________.

[答案] (1)B (2) 6

2 [解析] (

第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例

考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1．平面向量的数量积

若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__； (2)非零向量a，b，a⊥b?__a·b＝0__；

(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝_

专题33 平面向量 平面向量的坐标运算

【考点讲解】

一、具本目标：平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义. （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考点透析：

1.掌握求向量坐标的方法，掌握平面向量的坐标运算.

2.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线，解三形等有关的问题.

3.用坐标表示的平面向量的共线条件是高考考查的重点，分值5分.一般是中低档题. 二、知识概述：平面向量的坐标运算 1）平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2)平面向量的坐标表示:

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a?(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． (2)若

．

3）平面向量的坐标运算 (1)若

；

(2)若a＝(x，y)，则(3)

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数

,等于已知

；③若存在实数

三点共线.

（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出钝角, 给出

,等于已知,等于已知

,即是锐角。

是直角,给出,等于已知是

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三

角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在形三条高的交点）；

中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角

形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数

,等于已知

；③若存在实数

三点共线.

（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出钝角, 给出

,等于已知,等于已知

,即是锐角。

是直角,给出,等于已知是

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三

角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在形三条高的交点）；

中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角

形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数

,等于已知

；③若存在实数

三点共线.

（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出钝角, 给出

,等于已知,等于已知

,即是锐角。

是直角,给出,等于已知是

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三

角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在形三条高的交点）；

中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角

形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

学科思想 分类讨论思想 例 已知a＝（1，2），b＝（–3，2），当k为何值时，ka＋b与a–3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【思路分析】由a，b的坐标→求ka＋b，a–3b坐标→由向量共线的条件列方程组→求k的值→判断方向 【解析】由ka＋b＝（k–3，2k＋2）， a–3b＝（10，–4）． ∵ka＋b与a–3b平行， 1∴（k–3）×（–4）–10（2k＋2）＝0，解得k＝–3． 11此时ka＋b＝–3a＋b＝–3（a–3b）． 1∴当k＝–3时，ka＋b与a–3b平行，并且反向． 【方法技巧】解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解． 数形结合思想 例 已知，且与的夹角为与，则与5．已知向量=（2，0），向量=（cosα，=（2，2），向量训练题组 1．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为___________，|a–b|的最大值为___________． 2．在△ABC中，=（2，3），=（1，k），且△ABC的一个内角为直角，则k的值___________． 3．已知a＝（–2，–1），b＝（λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为_

数 学

F单元 平面向量

F1 平面向量的概念及其线性运算

10．F1[2014·福建卷] 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，→＋OB→＋OC→＋OD→O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA等于( )

→ B．2OM→ A.OM

→ D．4OM→ C．3OM

10．D [解析] 如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线→＝－MC→，MB→＝－MD→. 的交点，所以M是AC与BD的中点，即MA

→＋OC→＝(OM→＋MA→)＋(OM→＋MC→)＝2OM→. 在△OAC中，OA

→＋OD→＝(OM→＋MB→)＋(OM→＋MD→)＝2OM→， 在△OBD中，OB

→＋OC→＋OB→＋OD→＝4OM→，故选D. 所以OA

12．F1[2014·江西卷] 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α1

＝3.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．

12．3 [解析] 因为|a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－

1

12×1×1×3＋4×1＝9，所以

2014高考题平面向量

1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量a??3,2?表示出来的是（ ） A.e1?(0,0),e2?(1,2) B .e1?(?1,2),e2?(5,?2) C.e1?(3,5),e2?(6,10) D.e1?(2,?3),e2?(?2,3)

2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量a??1,0,?1?，则下列向量中与a成60的是（ ） A.??1,1,0? B. ?1,?1,0? C.?0,?1,1? D.??1,0,1?

3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O为原点,A??1,0?,B(0,3),C(3,0),动点D满足

CD=1，则OA?OB?OD的最大值是_________.

【答案】1?7 【解析】因为C坐标为?3,0?且CD?1,所以动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆,则D满足参数方程

1

4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD中，已知AB?8,AD?5，

CP?3PD,AP?BP?2，则AB?AD的

历届高考中的“平面向量”试题精选（自我测试）

1．(2008 A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 2．（2001江西、山西、天津理）若向量a=（1，1），b=（1，－1），

c=（－1，2），则c= (

)

11333131

（A） a+b （B）a－b （C）a b （D）－a b

22222222

3．（2005全国卷Ⅱ理、文）已知点A，B(0,0)，C．设 BAC的平分线AE

与BC相交于E，那么有BC CE，其中 等于( )

11

（A）２ （B） （C）－３ （D）－

23

4．（2004全国卷Ⅱ文）已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝( )

（A）1 （B） （C） （D）

5.(2006四川文、理)如图, 已知正六边形PP 12P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（ ）

（A）PP （B） （C） （D）PP PP PP PPPP PP121412 PP1612131215

6、(2008海南、宁夏文)已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），

a b与a垂直，则 是（ ）

A. －1