相似矩阵的判定方法

相似矩阵的判定及其应用

摘要： 相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似

的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.

关键字： 相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形

1.相似矩阵及其判定

这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。并通过一些具体的例子加以说明。下面我们首先介绍相关的概念和性质。

定义1 设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=X?1AX，就说A相似于B，记A~B

过渡矩阵 矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子

相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A~A

⑵对称性：如果A~B，那么B~A

⑶传递性：如果A~B，B~C，那么A~C

在此基础上，

定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。 我们从下面的例1来看这

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第三节 相似矩阵

一、相似矩阵的概念与性质 相似矩阵的概念与性质 二、利用相似变换将矩阵对角化 三、小结 思考题

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一、相似矩阵概念与性质定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP = B ,-1

则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.记为A ~ B .

对A进行运算P 1 AP称为对A进行相似变换 .

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定理1 定理 若n阶矩阵 A与B相似 ,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同 .

证明

A与B相似

可逆阵 P , 使得P 1 AP = B= P 1 AP P 1 (λ E )P ∴ B λE

= P

1

( A λE ) P

= P 1 A λ E P

= A λE .则A与B的特征多项式相同 , 从而A与B的特征值亦相同.

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相似矩阵的性质: 相似矩阵的性质 (1)相似矩阵有相同的秩; (1)相似矩阵有相同的秩; 相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等; (2)相似矩阵的行列式相等; 相似矩阵的行列式相等 证明：( ) 阶矩阵A与 相似 相似,则存在非奇异 证明：(2)设n阶矩阵 与B相似 则存在非奇异 ：( 阶矩阵 矩阵P使得 矩阵 使得 P 1 AP

线性代数授课课件

相似矩阵及二次型

线性代数相似矩阵及二次型 第3课时

线性代数授课课件

温故而知新相似矩阵： P 1 AP B 【定理3】 若n阶方阵A与 B相似，则：

相似矩阵及二次型

A E B E , A B , A B , R ( A ) R ( B ).

【定理4】A 与 相似 A 有 n 个线性无关的特征向量可逆矩阵P 是由相应的特征向量作为列向量构 成的.

.

【推论1】若n 阶方阵 A 的n 个特征值互不相等,则 A 与 相似 .【推论2】 方阵A与对角矩阵 相似 A的所有特征值的重数与 其对应的线性无关的特征向量的个数相等. 【推论3】 若 i是矩阵A的ki(i=1,2, …m, k1+k2+…+km=n)重特征值，则 A 与 对角矩阵 相似 R( A i E ) n k i

线性代数授课课件

§4 对称矩阵的相似对角化对称矩阵的特征值与特征向量 对称矩阵的正交相似对角化 问题与思考

线性代数授课课件

分析下面两个例子 0 1、判断 A 0 1 能否相似对角化. 0

相似矩阵及二次型

2、判断对称阵A是否可以对角化

2 A 1

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

这是中考的重点,值得好好研究

相似三角形判定方法的综合运用

练习：（学生用）

一、选择题：

1、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（ ） A、2对 B、3对 C、4对 D、5对

2、如图，若点D、E分别在△ABC的边AB、AC上（AB>AC）， 则下列条件不一定能保证△AED∽△ABC的是（ ） A、∠AED=∠B B、∠ADE=∠C C、D、

3

、下列命题中正确的是( )

A 、底角相等的两个等腰三角形相似

B、 一个等腰三角形的一角与另一个等腰三角形的一角相等，这两个等腰三角形相似 C 、一个直角三角形两边与另一直角三角形的两边成比例，这两个直角三角形相似 D、有一条直角边相等的两个直角三角形相似

二、证明题：

1、如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的一点，AE的延长线交BC于F， 求证： ABF∽ EDA。

A

B

C

2、如图，在 ABC中， ACB 2 B，CD平分 ACB，求证：AC2 = AD·AB

DECB

AEAB

ACAD

ABAE

A

D B

F

E C

E

C

D

F

C

这是中考的重点,值得好好研究

3、如图，AE＝AD·AB，且∠1＝∠2，求证：△BCE∽△EBD。

2

三、

海文考研资料

【海文考研数学】：线代知识点归纳 5

相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵 ATA E或A 1 AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj 0②、若A为正交矩阵，则A 1 AT也为正交阵，且A 1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 1i j(i,j 1,2,i jn)；

2. 施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1 a1；

b2 a2 [b1,a2]b1 [b1,b1]

[b1,ar][b,a]b1 2rb2 [b1,b1][b2,b2][br 1,ar]br 1; [br 1,br 1] br ar

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4. ①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

PAQ B，P、Q可逆；

r(A) r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 CTAC B，其中可逆；

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；

③、A与B相似 P 1AP B；

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTAC B A~B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

第七章 线性变换与相似矩阵 习题7.1

习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ）解：当当

时，时，有

，

，

显然是的线性变换；

，

，即此时不是的线性变换。

（Ⅱ）解：当当

，时，时，有

；

显然是的线性变换；

，

，则，则

，即此时不是的线性变换。

（2）在（Ⅰ）解：不是

中，

，

的线性变换。因对于，所以

（Ⅱ）解：是则有

的线性变换。设

。

； ，其中

，

，

，

，有

，

。

（3）在（Ⅰ）解：是

中，

，

的线性变换：设

，则

，

，

（Ⅱ）解：是

。

，其中是中的固定数；

的线性变换：设

，则 ，

，

。

，其中是的

（4）把复数域看作复数域上的线性空间，共轭复数； 解：

不是线性变换。因为取

，即

（5）在

。

，

时，有

，

中，设与是其中的两个固定的矩阵，。

，

解：是的线性变换。对，，有 ，

。

习题7.1.2在轴向

中，取直角坐标系

，以表示空间绕

表示空间绕轴由

轴向

轴由方向

方向旋转900的变换，以

旋转900的变换，以变换。证明

表示空间绕轴由轴向方向旋转900的

（表示恒等变换）， ， ；

并说明证明：在知：

是否成立。

中任取一个向量

， ，，即

，；，故

， ，所以

。

，则根据

，；，

。 及

的定义可

，，

因为

因为， ，所以

。

，

，所以

。

，证明