向量的数量积的坐标运算

奇台县第一中学 高一数学◆必修4第二章◆平面向量导学案共12课时 编写： 校审： 高一数学组

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

第9课时

(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a?c)?b

【学习目标】

知识目标：1、在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）； 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

例3、在△ABC中，AB=(2， 3)，AC=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值. 能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直等有关的问题.

【重点难点】 教学重点：平面向量数量积的坐标表示及运算 例4、已知向量a＝(k,1)，b＝(－2,2)，且a与b的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 教学难点：用两个向量的坐标判断垂直关系

【课前自学】 一、课前准备：阅读课本P106-107 例5、已知a=（1，2），b=（-3，2）当k为何值时，（1）ka?b与a?3b垂直？ 二、预习自测

（2）ka?b与a?3b平行吗？平行时它们是同向还是反向？ a=（x1,y1）b?(x1,y2)

1.平面向量数量积（内积

1 【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课后知能检测 新人教B 版选修

4-5

一、选择题

1．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a ·b ＝( )

A ．23

B ．57

C ．63

D ．83 【解析】 |a |2＝a 2＝a ·a ＝(－4)2＋32＝25，

a ·

b ＝(－4,3)·(5,6)＝－20＋18＝－2.

∴3|a |2－4a ·b ＝3×25－4×(－2)＝83.

【答案】 D

2．(2013·宿州高一检测)若a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的射影为

( )

A ．2 5

B ．2 C. 5

D ．10 【解析】 |a |cos θ＝|a |

a ·

b |a ||b |＝a ·b |b |＝2×3＋1×45

＝2. 【答案】 B

3．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)且(ka ＋b )⊥(a －2b )，则k ＝( )

A.43

B ．－43 C.34 D ．－34 【解析】 由题意知(ka ＋b )·(a －2b )＝0，

而ka ＋b ＝(2－k,3k －1)，a －2b ＝(－5,5)，

故－5(2－k )＋5(3k －1)

第11讲 平面向量的数 量积与坐标运算

满分晋级

向量3级 平面向量的数量积与坐标运算

向量2级 平面向量的线性

运算

向量1级 向量基本概念及运算

新课标剖析

当前形势

内容

平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加法、减法

与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件

高考 要求

数量积 数量积的坐标表示 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直

关系 用向量方法解决简单的问题

平面向量在近五年北京卷（理）考查5分

要求层次 A

B √ √

C √ √ √ √ √

具体要求

掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

理解用坐标表示的平面向量共线的条件． ①理解数量积的含义及其物理意义． ②了解数量积与向量投影的关系．

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与一些实际问题．

2012年 （新课标）

2013年 （新课标）

√

北京 高考

2009年

2010年 （新课

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。

1.利用数量积运算公式求解

在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a＋b)

２

＝a２＋２a2b＋b２，（a－b）２＝a２－２a2b＋b２

２

２

上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a－b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中

可以直接应用.

例1 已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a2b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜.

２２２２２２

解析：∵｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋２a2b＋b＝２＋２3（－３）＋５＝２３

∴｜a＋b｜＝23，∵（｜a－b｜）＝（a－b）＝a－2a2b＋b＝2－23（－3）

２

２

２

２

２

3５＝35，

∴｜a－b｜＝35．

例2 已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°).

２２２２２

解析：∵（｜a＋b｜）＝（a＋b）＝a＋2a2b＋b＝｜a｜＋2｜

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。

1.利用数量积运算公式求解

在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a＋b)

２

＝a２＋２a2b＋b２，（a－b）２＝a２－２a2b＋b２

２

２

上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a－b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中

可以直接应用.

例1 已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a2b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜.

２２２２２２

解析：∵｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋２a2b＋b＝２＋２3（－３）＋５＝２３

∴｜a＋b｜＝23，∵（｜a－b｜）＝（a－b）＝a－2a2b＋b＝2－23（－3）

２

２

２

２

２

3５＝35，

∴｜a－b｜＝35．

例2 已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°).

２２２２２

解析：∵（｜a＋b｜）＝（a＋b）＝a＋2a2b＋b＝｜a｜＋2｜

中学生数学

年 !月上

第

#期

高中%

应用类比法学习平面向量的坐标表示和数量积山东省济南市长清第五中学!

&

齐相国

(

类比法是创新思维的一种重要的形式平,

另外还要注意数学符号的正确书写万71(

,

面向量的坐标运算和数量积运算是平面向量运算的主旋律是学习的重点正确理解平面向量的坐标表示和平面向量的数量积的意义、,,(

是向量的坐标表示,

,

,

1

是点的坐标,

表示不能将向量万的坐标写成万能将点,、

1

,

也不

的坐标写成,

一

,

,

刃

弄清点的坐标与向量的坐标平面向量的数量积与实数乘法的区别和联系是学好这一部分(

二平面向量的数一积可通过以下三方面类比来学习%

的关键一点的坐标与向)坐标的异同向量坐标表示的实质是,、

从物理学角度平面向量的数量积是从,

,

物理做功抽象出来的功定义为一个物体在外力=作用下与所产生的位移>的数量积?>一 2=%一=,

向量的坐标是向

量的代数表示任一平面向量可以用一个有序实数对来表示示一个向量(

+

反过来任一有序实数对就表,

,

#%

Α<

欲通过从力做功情况来看可9

,

即一个平面向量就是一个二元有(

以加深我们对数量积运算律的认识若力增

序实数对点的坐标与向量坐标形式上相同都分为横坐标和纵坐标

倍则功也增大,

,

9

倍而当力反转方向时功要变

,

,

向量的坐

中学生数学

年 !月上

第

#期

高中%

应用类比法学习平面向量的坐标表示和数量积山东省济南市长清第五中学!

&

齐相国

(

类比法是创新思维的一种重要的形式平,

另外还要注意数学符号的正确书写万71(

,

面向量的坐标运算和数量积运算是平面向量运算的主旋律是学习的重点正确理解平面向量的坐标表示和平面向量的数量积的意义、,,(

是向量的坐标表示,

,

,

1

是点的坐标,

表示不能将向量万的坐标写成万能将点,、

1

,

也不

的坐标写成,

一

,

,

刃

弄清点的坐标与向量的坐标平面向量的数量积与实数乘法的区别和联系是学好这一部分(

二平面向量的数一积可通过以下三方面类比来学习%

的关键一点的坐标与向)坐标的异同向量坐标表示的实质是,、

从物理学角度平面向量的数量积是从,

,

物理做功抽象出来的功定义为一个物体在外力=作用下与所产生的位移>的数量积?>一 2=%一=,

向量的坐标是向

量的代数表示任一平面向量可以用一个有序实数对来表示示一个向量(

+

反过来任一有序实数对就表,

,

#%

Α<

欲通过从力做功情况来看可9

,

即一个平面向量就是一个二元有(

以加深我们对数量积运算律的认识若力增

序实数对点的坐标与向量坐标形式上相同都分为横坐标和纵坐标

倍则功也增大,

,

9

倍而当力反转方向时功要变

,

,

向量的坐

平面向量的数量积

教学目标：

(i)知识目标:

（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.

(ii)能力目标:

(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.

教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.

教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程： 一、追溯

????1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?

?????????aaaa叫与b的数量积，记作?b，即?b = |||b|cos?，(0????)并规定0与任何向量的

数量积为0 ??????aaa2．平面向量的数量积的几何意义：数量积?b等于的长度与b在方向上投影|b|cos?的乘积. ????3．两个向量的数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ?????????1?e?a = a?e =|a|cos?； 2?a?b ? a?b = 0

???????????????3?当a与b同向时

平面向量数量积的 物理背景及其含义

教学目标：掌握平面向量数量积的概念， 掌握平面向量数量积的概念，能用它来 表示向量的模及向量的夹角

教学重点：平面向量数量积的运算律， 平面向量数量积的运算律，用它来表示向量的模及向量的夹角

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解， 平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用

如图所示：物体在力F的作用下由A移动到B 问力F 如图所示：物体在力F的作用下由A移动到B,问力F 所作的功？ 所作的功？ F θ S A B F

力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、 力与位移夹角的余弦这三者的乘积。

W= F S cosθ

已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos θ叫做 a b a b a与b的数量积，记作a ·b ,即 b a b a ·b= |a||b|cos θ b a b 其中θ是a与b的夹角， |a|cos θ( |b|cos θ )叫 a b a b 做向量a在b方向上( b 在 a方向上 )的投影。 a b ( A a O A1 b 几何意义：数量积a ·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 a b a a b a 投影|b|cos θ的乘积

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．以下选项中，不一定是单位向量的有( )

①a＝(cos θ，－sin θ)；②b＝(lg 2，lg 5)；③c＝(2x,2x)；④d＝(1－x，x)．

－

A．1个 C．3个

－B．2个 D．4个

解析：因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝?2x? 2＋?2x? 2 ≥2≠1， |d|＝?1－x? 2＋x2＝2x2－2x＋1＝ 答案：B

2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，设下列结论中正确的是( ) A．|a|＝|b| C．(a－b)⊥b

解析：因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，

所以|a|＝2，|b|＝2，故|a|≠|b|，A错误； a·b＝(2,0)·(1,1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误；

因为a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，故C正确． 因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误． 答案：C

3．(2014年高考重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( ) 9A．－

2C．3

B．0 15D. 21

B．a·b＝

2D．a∥b

112

2?