小学奥数数论专题精讲

名校真题 测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题）

如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是_____。 3 （05年首师附中考题）

120250513131313?++=________。

212121212121212121214 （04年人大附中考题）

甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

(02年人大附中考题)

下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128

【附答案】

1 【解】：6

2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a

名校真题 测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题）

如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是_____。 3 （05年首师附中考题）

120250513131313?++=________。

212121212121212121214 （04年人大附中考题）

甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

(02年人大附中考题)

下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128

【附答案】

1 【解】：6

2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a

数论专题典型结论汇总

整除

一、常见数字的整除判定方法

1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.

5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质

性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，

c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

c∣b，那么c∣a．

用同样的

奥数精品

【例1】

小朋友，张开手，五个手指人人有。手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅? (注)“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。 解：见右图看一看、数一数 可知：5个手指间有4 个“空”。“空”又叫 “间隔”，也就是，人的 一只手有5个手指4个 间隔。

【例2】小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长?

解：画示意图如下：

由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，10个间隔长10米。也就是说这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时：

【例3】把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。 ①如果把这根木头锯成lO段，需要几分钟? ②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟?

解：_画出示意图：

由图可见，把木头锯成5段，只需要锯4次。所以锯一次需1分钟。 ①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。 ②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。

【例4】鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12

奥数精品

【例1】

小朋友，张开手，五个手指人人有。手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅? (注)“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。 解：见右图看一看、数一数 可知：5个手指间有4 个“空”。“空”又叫 “间隔”，也就是，人的 一只手有5个手指4个 间隔。

【例2】小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长?

解：画示意图如下：

由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，10个间隔长10米。也就是说这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时：

【例3】把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。 ①如果把这根木头锯成lO段，需要几分钟? ②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟?

解：_画出示意图：

由图可见，把木头锯成5段，只需要锯4次。所以锯一次需1分钟。 ①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。 ②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。

【例4】鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12

小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】

分析：这个题没有告诉我们 ,这三个数除以这个数的余数分别是多少 ,但是因为

所得的余数相同 ,根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ,也就是说它是任意两数差的公约数 .

101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有 1,2,7,14,所以这

个数可能为 2,7,14.

2.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 .

分析： 127-3=124,99-3=96,则 b 是 124 和 96 的公约数 .而(124,96)=4,所以 b=4. 那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27.

3.除以 99,余数是 ______.

分析：所求余数与 19×100,即与 1900 除以 99 所得的余数相同 ,所以所求余

数是 19.

4.求下列各式的余数：

(1)2461 × 135× 6047 ÷ 11

(2)19992000 ÷ 7

分析： (1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000与42000除以7的余数相同.然后再找规律 ,发现 4

冯老师奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合点滴积累，成就未来-1-奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合

同学须知：

本讲内容比较多，倍数、余数、质数、合数，都要涉及到，题量不能太大，所以，基本上就是讲基础。内容设计25道题，尽量涵盖数论的基本问题。课后练习5道题。

【基本特点汇总】

整除的一些基本性质：

1、尾数判断法：

（1）能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。【尾数系】

（2）能被4、25整除的数的特征：末两位能被4和25整除。【双尾数】

（3）能被8、125整除的数的特征：末三位能被8和125整除。【三尾数】

2、数字求和法：

能被3、9整除的数的特征：各个数位的数字之和能被3或9整除；

弃3法，

弃9法。

3、奇偶位求差法：

能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。（大减小）

4、和的整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那么他们的和与差也能被a 整除。

5、能被7、11、13整除的数的特征：求末三位数与之前的数之差（大减小）

6、能被99

整除的数的特征：两位截断求和（从右向左截断）。

冯老师奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合点滴积累，成就未来-2-【1】能同时被2，3，5整除的最大的三位数是（）。

【2】能同时被2，5，7整

第六讲、数论专题（一）

知识点：

1、整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或吧，能整除a，记b∣a 2、整除的性质：

⑴如果a与b都能被c整除，那么a与b的和与差也能被c整除 ⑵如果a与b的积能整除c，则a与b都能整除c

⑶如果a与b都能整除c，且a与b互质，那么a与b的积也能整除c ⑷如果a能整除b，b能整除c，那么a能整除c ⑸1能整除任意整数，任意非0整数都能整除0 3、特殊数的整除特征： ⑴2,5 ⑵3,9 ⑶4,25

⑷8,125 ⑸7,11,13 ⑹11

4、约数个数的计算：指数加1的乘积

例：24×53的约数个数是（4+1）×（3+1）=20（个） 5、最大公因数、最小公倍数表示法： （A，B）最大公因数 [A，B] 最小公倍数 A×B=（A,B)×[A，B]

6、同余：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b模m同余，记a≡b（modm）

7、同余的性质

⑴若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）

⑵若a≡b（modm），c≡d（modm），则a ±c≡b±c（modm），ac≡bd（modm） ⑶若ac≡bc（modm）且（c，m）=

第六讲、数论专题（一）

知识点：

1、整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或吧，能整除a，记b∣a 2、整除的性质：

⑴如果a与b都能被c整除，那么a与b的和与差也能被c整除 ⑵如果a与b的积能整除c，则a与b都能整除c

⑶如果a与b都能整除c，且a与b互质，那么a与b的积也能整除c ⑷如果a能整除b，b能整除c，那么a能整除c ⑸1能整除任意整数，任意非0整数都能整除0 3、特殊数的整除特征： ⑴2,5 ⑵3,9 ⑶4,25

⑷8,125 ⑸7,11,13 ⑹11

4、约数个数的计算：指数加1的乘积

例：24×53的约数个数是（4+1）×（3+1）=20（个） 5、最大公因数、最小公倍数表示法： （A，B）最大公因数 [A，B] 最小公倍数 A×B=（A,B)×[A，B]

6、同余：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b模m同余，记a≡b（modm）

7、同余的性质

⑴若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）

⑵若a≡b（modm），c≡d（modm），则a ±c≡b±c（modm），ac≡bd（modm） ⑶若ac≡bc（modm）且（c，m）=

数论（一） 奇数与偶数

【知识点概述】

1.奇数和偶数的定义：

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 2.奇数与偶数的运算性质：

性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数

性质3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质4：奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数

性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性 性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶 性质8：奇数的平方可以写作 4k+1 ，偶数的平方可以写作 4k

【习题精讲】

【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？

(1) 29＋30＋31＋??＋87＋88

(2) （200＋201＋202＋??＋288）－（151＋152＋153＋??＋233） (3) 35＋37＋39＋41＋??＋97＋99

【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，

不能