双曲线的简单几何性质总结

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双曲线的简单几何性质

标签:文库时间:2024-07-04
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教学内容:双曲线的简单几何性质 【基础知识精讲】

1.双曲线 - =1的简单几何性质

(1)范围:|x|≥a,y∈R.

(2)对称性:双曲线的对称性与椭圆完全相同,关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点:两个顶点A1(-a,0),A2(a,0),两顶点间的线段为实轴,长为2a,虚轴长为2b,且c2=a2 b2.与椭圆不同.

(4)渐近线:双曲线特有的性质,方程y=± x,或令双曲线标准方程 -

=1中的1为零即得渐近线方程.

(5)离心率e= >1,随着e的增大,双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线):x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±x,离心率e=

.

(7)共轭双曲线:方程 - =1与 - =-1表示的双曲线共轭,有共

同的渐近线和相等的焦距,但需注重方程的表达形式.

注重:

1.与双曲线 且λ为待定常数)

- =1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - =λ(λ≠0

2.与椭圆 =1(a>b>0)共焦点的曲线系方程可表示为 -

=1(λ<a2,其中b2-λ>0时为椭圆, b2<λ<a2时为双曲线)

2.双曲线的第二定义

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x= 的距离之比等于常数e= (c

>a>0)

双曲线的简单几何性质19

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2.3.2双曲线的简单几何性质

【学习目标】

会分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质,并熟记之;掌握双曲线的渐近线的概念

【预习案】

1、双曲线的简单几何性质

2、等轴双曲线:___________

【小组讨论】

例1、(1)求双曲线9y2-16x2=144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

【课堂检测】

1.已知下列双曲线方程,求它的焦点坐标,离心率和渐近线方程(1)4x2-9y2=36 (2)16x2-9y2= - 144

【课后作业】P53练习1

双曲线的简单几何性质2

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学习目标: 1.掌握直线与双曲线的位置关系; 2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等 问题; 3.了解与双曲线有关的应用问题.

复习回顾 1:直线与椭圆的位置关系有那些?如何判定? 2:点与椭圆的位置关系有哪些?如何判断?x2 y2 x2 y2 3 椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有共同的焦点, 则实数 34 n n 16 n 的值是( B )A.± B.± C.25 D.9 5 3

4.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是( C ) 1 3 A.y=± 3x B.y=± x C.y=± 3x D.y=± x 3 3 2 2 x y 5.如果双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,则双曲 a b

线的离心率为( A )A. 2

B. 2

C. 3

D. 2 2

探究:1.如何判断点与双曲线的位置关系? 2.判断下列直线和双曲线 的位置关系 (1)直线L1:x-y+1=0; (2)直线L2:2x+y-1=0; (3)直线L3:2x-y+ =0 通过这道题目的解答你认为解决直线和双曲线的 位置关系与解决直线和椭圆的位置关系有那些 相同点?有那些不同点?

例1: 已知双曲线x2-y2=4

双曲线的简单几何性质测试卷

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典型例题一

x2y2??1共渐近线且过A23,例1 求与双曲线?3点的双曲线方程及离心率. 169??3x2y2??1的渐近线方程为:y??x 解法一:双曲线

4169x2y2(1)设所求双曲线方程为2?2?1

ab∵

3b3?,∴b?a ①

4a4∵A23,?3在双曲线上 ∴

??129?2?1 ② 2ab由①-②,得方程组无解

y2x2(2)设双曲线方程为2?2?1

ab4b3?,∴b?a ③

3a4912∵A23,?3在双曲线上,∴2?2?1 ④

ab922由③④得a?,b?4

4∵

??y2x25??1且离心率e? ∴所求双曲线方程为:9344x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程为:??????0? 解法二:设与双曲线

169169∵点A23,?3在双曲线上,∴????1291??? 1694y2x2x2y21?1. ???,即?∴所求双曲线方程为:

9416944说明:(1)很显然,解法二优于解法一.

x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程??????0?. (2)不难证明

2.2.2双曲线的简单几何性质1

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高二文科数学

2.2.2双曲线的 简单几何性质(一)

高二文科数学

双曲线定义及标准方程定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) ( )yMM F2

y

图象

F1

o

F2

xF1

x

方程 焦点a.b.c 的关系

x2 y2 2 =1 2 a bF ( ±c, 0)

y2 x2 2 =1 2 a b F(0, ± c)2 2

c =a +b2

高二文科数学

双曲线的标准方程 形式一: 形式一: x y 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b F1 F 焦点在x轴上,(-c,0)、 2 c,0)) 轴上,( (焦点在x轴上,(-c,0)、 (c,0))2 2

形式二: 形式二: y 2 x2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a bF1 轴上,( )、(0, )) (焦点在y轴上,( ,-c)、( ,c)) 焦点在 轴上,(0, )、( F2

其中 c 2 = a 2 + b 2

高二文科数学

练习: 练习:1.动点 到点 动点P到点 的距离减去到点N(1,0)的 动点 到点M(-1,0)的距离减去到点 的距离减去到点 的 距离之差为2,则点 轨迹是

双曲线的简单几何性质测试卷

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典型例题一

x2y2??1共渐近线且过A23,例1 求与双曲线?3点的双曲线方程及离心率. 169??3x2y2??1的渐近线方程为:y??x 解法一:双曲线

4169x2y2(1)设所求双曲线方程为2?2?1

ab∵

3b3?,∴b?a ①

4a4∵A23,?3在双曲线上 ∴

??129?2?1 ② 2ab由①-②,得方程组无解

y2x2(2)设双曲线方程为2?2?1

ab4b3?,∴b?a ③

3a4912∵A23,?3在双曲线上,∴2?2?1 ④

ab922由③④得a?,b?4

4∵

??y2x25??1且离心率e? ∴所求双曲线方程为:9344x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程为:??????0? 解法二:设与双曲线

169169∵点A23,?3在双曲线上,∴????1291??? 1694y2x2x2y21?1. ???,即?∴所求双曲线方程为:

9416944说明:(1)很显然,解法二优于解法一.

x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程??????0?. (2)不难证明

§8.4双曲线的简单几何性质例题(一)

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例1 已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为213,另一双曲线与椭圆有公共焦点,且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4,两曲线的离心率之比为3:7,求两曲线方程.

解:若焦点在x轴上,设所求椭圆及双曲线方程分别为:

x2y2x2y2 ?2?1 (a1?b1?0);2?2?1 (a2,b2?0);2a1b1a2b2离心率分别为e1,e2, 依题意:a1-a2=4且e1:e2=

c1c23:?, a1a27又c1=c2=13, ∴a1=7,a2=3.

2222故b12?a1?c12?36,b2?c2?a2?4.

∴所求椭圆与双曲线方程分别为:

x2y2x2y2??1或??1. 493694当焦点在y轴上时,可得两曲线方程为

y2x2y2x2??1或??1. 493694例2 直线y-ax-1=0和双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点,a为何值时,以AB为直径的圆经过原点.

解:如图所示,若以AB为直径的圆经过原点,则有OA⊥OB,设A(x1、y1)、B(x2、y2),则

y2y1???1 x2x1即x1·x2+y1y2=0 ①

把y=ax+1代入3x2-y2=1得3x2-(ax+1)2=1

化简得 (3-a2)x2-2

双曲线的几何性质教案

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双曲线的几何性质 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 高中数学 人教版 双曲线的几何性质及其应用 知识与技能:掌握双曲线的范围,对称性,顶点,离心率,渐近线等几何性质; 过程与方法:通过联想椭圆几何性质的推导方法,用类比方法双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质,从而培养学生的观察力以及联想类比能力; 情感态度与价值观:让学生充分体验探索、发现数学知识的过程,深刻认识“数”与“形”的关系,培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 适用年级 课时时长(分钟) 高中二年级 60 教学重点 教学难点 双曲线的渐近线及其得出过程 渐近线几何意义的证明 1

教学过程

一、课堂导入

前面我们学习了椭圆及其标准方程,并由标准方程推导出椭圆的几何性质,椭圆的几何性质有哪些? 今天我们以双曲线的标准方程为工具,研究双曲线的几何性质。

2

二、复习预习

双曲线的定义:平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数(小于F1F2)的动点的轨迹叫双曲线。 当2a<2c时,轨迹是双曲线 当2a=2c时,轨迹是两条射线 当2a>2c时,轨迹不存在

如果双曲线的焦点在x轴上,即?Fx2y2F1?c,0?,2?c,0?,则双曲线的标准方程为a2?b2?1;

如果双曲线的焦点在y轴上,即F?0,c?,Fy2x212?0,?c?,则双曲线的

双曲线的简单几何性质(2)典型例题解析

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典例剖析

x2y2[例1]已知双曲线2?2=1(a>0,b>0)的焦点坐标是F1(-c,0)和F2(c,0),P(x0,y0)

ab是双曲线上的任一点,求证|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|,其中e是双曲线的离心率.

x2y2【证明】 双曲线2?2=1的两焦点F1(-c,0)、F2(c,0),

aba2a2相应的准线方程分别是x=-和x=.

cc∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.

PF1x0?ac2?e,PF2x0?ac2?e.

化简得:|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|.

【点评】 |PF1|、|PF2|都是双曲线上的点到其焦点的距离,习惯称作焦半径.|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|称作焦半径公式.

[例2]双曲线的中心在坐标原点,离心率为4,一条准线方程是x=程.

1,求双曲线的方2ca21【解】 ∵=4,=,

c2a∴a=2,c=8,∴b2=82-22=60.

x2y2∴双曲线的方程是=1. ?460【点评】 双曲线的准线总与实轴垂直.

x2y2[例3]在双曲线=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两?169倍.

【解】

2.3.2双曲线的简单几何性质(总学案9)

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2.3.2双曲线的简单几何性质(总学案9)

撰稿: 修订:高二备课 班级 姓名: 第 小组

一、学习目标,心中有数

1、通过对双曲线标准方程的讨论,掌握双曲线的范围,对称性,顶点,渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心,实轴,虚轴,渐进线,等轴双曲线的概念,加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解。

2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。 二、知识梳理,形成体系

1、双曲线的定义: 2、双曲线的标准方程:

3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的? 试一试

类比探究椭圆的简单几何性质的方法,根据双曲线的标准方程

x2y2

2 1,(a 0,b 0),研究它的几何性质。 2ab

y2

①范围 :2 从

b

而得x的范围: ;即双曲线在不等式 和

x2

所表示的区域内。2= 从而得y的范

a

围为 。

②对称性:以 x代x,方程不变,这说明

所以双曲线关于 对称。同

理,以 y代y,方程不变得双曲线关于 对称,以 x代x,且以 y代y,方程也不变