数学分析微分的定义

数学分析之微分中值定理的应用

张焕，付桐林

（陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000）

【摘要】：微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，以Rolle中值定理、Lagrange中

值定理和Cauchy 中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建

立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明，在导数应用中起着桥梁的作用，也是研究函数变化形态的纽带。本文将专门针对数学分析中出现的各种中值定理进行讨论和研究，讨论罗尔(Rolle)中值定理对于函数与其连续高阶导数间关系的应用以及应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。

【关键词】：Rolle中值定理；Lagrange中值定理 ；Cauchy中值定理；应用

1. 引言 数学分析中的微分中值定理是研究函数特性的一个有力工具，在微积分领域有

举足轻重的地位，它们广泛地应用于数学中的各个领域，在计算方法以及实变函

数中都用于一些复杂的定理证明。但是关于微分中值定理这方面的知识一直比较离散，尤其在其应用过程中可以发现，如何巧妙应用，也许要很多理论的支持，比如在哪些条件下可以应用哪个微分中值定理，这样的问题也并不是很容易解决，因此把微分中

初等数学之外的数学都是高等数学,也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为,高等数学是由微积分学,较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。

§5. 微分及其运算一、微分的定义

考虑边长为 x的正方形面积

x x

x 2

s x 2,x x, 则

s ( x x) 2 x 2 2 x x x 2 . s包含两部分：①

x x

2 x x是 x的线性函数；

x

x 2

②

x 2 o( x)( x 0)是 关 于 x的高阶 无穷小 .1

因此， s 2x x, 误差为 x2,当 x 愈小时，误差也愈小 .Hunan City University

初等数学之外的数学都是高等数学,也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为,高等数学是由微积分学,较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：

第14章 多元函数的微分学

14.1 可微性与全微分

定义1：设函数z?f?x,y?在P?x0,y0?的某个领域U?P0?内有定义,对

U?P0?中的

点P?x,y??P?x??x,y??y?,的点,若函数z?f?x,y?在P?x0,y0?的全增量：?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??A?x?B?y?o?????(lim??x?2???y?2(1)

?0)f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?A?x?B?y?x??y22?x?0?y?0A，B 是与P?x0,y0?无关的常数，则称z?f?x,y?在P?x0,y0?可微，dz例1：求f?x,y??xy在?x0,y0?处的微分。 解：

?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0???x0??x??y0??y??x0y0?y0?y?x0?x??x?ylim?x?y??0p0?A?x?B?y

?x0,y0???0?df?x,y??y0?y?x0?x由定义可得：

A?limf?x0??x,y0??f?x,0y?0?0

?x?0?xf?x0,y0??y??f?x,0y?xB?lim?y?0定义2：z?f?x,y?,?x,y??D,?x0,y0??D若f?x,y?在?x0,y

▇ ▇ 数学分析

《数学分析Ⅰ》第2讲 教学内容：实数系的连续性

第二章 数列极限

§2.1实数系的连续性

一． 实数系的产生（历史沿革）

从人类历史的开始，人类就逐步认识了自然数，1，2，3，?，n，?

自然数集 整数集 有理数集 实数集

解决的减法解决对除法?????????? ? 的封闭性的封闭性解决对开方?????的封闭性? ? ?

对加法封闭 对加减乘封闭 对加减乘除封闭 对减法不封闭 对除法不封闭 对开方不封闭

2000多年前，毕达哥拉斯学派认为：有理数集是最完美的数集；世界上的万事万物都可以用有理数表示。

但是，毕达哥拉斯的一个“叛逆”的学生，发现了边界为1的正方形的对角线长度不是一个有理数，即

数轴上点c不是一个有理数点。

例2.1.1设c?2，试证明：c不是一个有理数。

2p，则q222p2?c2q2?2q2，所以2|p，不妨设p?2p1，故(2p1)?2q，所以2p1?q， 所以2|q，记q?2q1，即p?2p1，q?2q1，这与 (p,q)

定义1 给定两个非负实数

其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =L

为整数，若有

则称x 与y 相等，记为x y =.

定义2

定义3

绝对值得一些性质

定义4

区间和邻域

定义5 有界的定义

定义6 确界的定义

定理1 定理一 确界原理

定理2

推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.

函数的概念

定义1

函数的四则运算

初等函数

定义2

几个重要的等式（不等式）

数列极限

定义1

收敛数列的性质

定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且12k n n n <<<

k n a .

平凡子列：数列{}n a 本身以及去掉有限项后得到的子列.

非平凡子列：不是平凡子列的子列.

数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.

定理2.9 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛. 定理二 （单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限. 函函数数极极限限

定定义义

函数极限的性质

无穷小量阶的比较（定义见下页末）

函数极限存在的条件

两个重要极限

常见的几个等价无穷小量

函数的连续

区间上的连续函数

连续函数的性质

导数和微分

定义2单侧导数

导函数

导数的几何意义

求导法则

反函数的

《数学分析Ⅱ》期中考试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、曲线2x2 +3y2 + z2 =9, z2 =3x2 + y2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ）

A、8x+10y+7z-12=0； B、8x+10y+7z+12=0；C、8x -10y+7z-12=0； D、8x+10y+7z+12=0 2、L为单位圆周，则

??Lyds?（ 4 ）

A、1 B、2 C、3 D、4 3、L为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则

?Lzdx?xdz= （ 3 ）

A、3 B、5 C、7 D、9 4、

??x?y?13?x?y?dxdy=（ 2 ）

A、2 B、4 C、6 D、8 5、

?0?12dy?21?y1?x0f(x,y)dx，改变积分顺序得（ 1 ） f(x,y)dy B、?dx?121?x?11?x?1A、C、

??12dx?dx?f(x,y)dy f(x,y)dy

1?x01f(x,y)dy D、?dx?126、V=[-2, 5]?[

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛

第2，3，11章 习题解答

习题2-1

1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是

p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.

2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.

证明 不妨设a0, 所以存在正整数n,使得0

1

mm综上可得 na

nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数

pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2.

证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即

x?令

piqi<

1qi2 , (i?1,2,3?,m)

??p??min?x?ii?1,2,3,?,m?

qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2

qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知

习题2-2

ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?,

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

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课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

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