赵爽一元二次方程的几何解法的解析

一元二次方程的几何解法

上传: 程峰 更新时间：2012-5-23 23:15:08

一元二次方程的几何解法

江西省彭泽县杨梓中学（332713）程峰 cfpk0808@163.com

课标北师大版九年级（上）第52页读一读中以方程x “形”上体现了配方法的本质。

方法一，（三国时期数学家赵爽的解法）由x 的正方形，则其面积为（x+x+2)

+2x-35=0得x(x+2)=35,如图1，构造边长为（x+x+2)

+2x-35=0为例介绍了两种几何解法，该解法从

，又有图1知大正方形是由四个长与宽分别为x+2和x的矩形及一

=4×35+4=144,∴（x+x+2)

个边长为2的小正方形组成，所以大正方形的面积又等于4（x+2)x+2 =144,∵x表示边长，∴x=5. 说明：赵爽的解法是把x

+2x=x(x+2)看作是矩形的面积，然后用四个这样的矩形和一个边长为2的正

方形组成一个边长为（x+x+2)的正方形，再由面积关系求出x。.

图1 图2 例1，用赵爽的解法解方程x

-2x-35=0

，

解析：原方程变为x（x-2)=3

一元二次方程的解法 一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基

础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解

法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x

一元二次方程的解法 一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基

础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解

法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x

塔甸中学数学学科复习教案

上课时间：第6周 星期二2016年4月5日 第7节 备课教师：鲁崇安

课题 复 习 目 标 复习重点 复习难点 复习方法 考点9：一元二次方程的解法及其应用 1.了解一元二次方程的概念； 2.理解配方法； 3.掌握一元二次方程的解法； 4.掌握一元二次方程根的判别式；了解根与系数的关系； 5.列一元二次方程解决实际问题； 1.一元二次方程的解法；2.根的判别式；3.列一元二次方程解决实际问题； 根据方程特点，选择恰当的方法解一元二次方程； 系统复习法，讲练结合法； 1．一元二次方程：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：（2）配方法（3）公式法： 知 识 体 系 归 纳 ?b?b2?4ac2x1,2?(b?4ac?0).（4）因式分解法： 2a3. 一元二次方程根的判别式： 关于x的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根的判别式为△=. 2（1）△>0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有

一元二次方程的解法——复习

[知识要点]

1．对于一元二次方程的概念，在学习时要注意抓住本质。首先，它是属于“整式方程”，其

次是“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2” 。

化一元二次方程为一般形式，正确找出它的二次项、一次项的系数及常数项，使学习一元

二次方程解法的基础。尤其要注意“系数”

是不包括它们的正负号在内的。

“a 0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分。因为方程ax2 bx c 0只有当a 0时，才叫做一元二次方程。反之，如果明确指出方程是一元二次方程，那就隐含了a 0这个条件。

2．解一元二次方程的几种方法

（1）直接开平方法：是建立在“数的开方”的基础上。

形如 x a 2 b b 0 的方程，可用直接开平方法，求得方程的根为：x a b b 0 。

（2）配方法：是将一般一元二次方程配成完全平方后转化成直接开平方法来求解的方法。它实质上是直接开平方法的延伸。配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化成一般形式，且二次项系数为1；

②把常数项移到方程的右边，在方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”；

③方程左边是一个完全平方式，若右边是非负数，则用直接开平方求解。

（3）求根公式法：是求出一元二次方程解的方法，它是解一元二次方程的一般方

1、 一元二次方程（1）导学案 标题 课程名称：数学 主备人： 课标要求： 掌握一元二次方程的概念，并能理解定义符合的条件。

学习目标1、会根据具体问题列出一元二次方程，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

学情分析：九年级学生，数学基础比较薄弱，抽象思维能力和演绎推理能力依然比较缺乏，所以在授课时注重引导、启发、和探讨，从而促进知识的掌握和思维能力的进一步发展。

教法分析：针对我班学生的特点，本节课我采用创设问题情境，类比探索相结合以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下共同探索。 评价任务：

1. 通过回顾，掌握一元二次方程的定义 2.通过练习，能熟练所学知识

预习导学 自学课本导图，走进一元二次方程

一元二次方程（1） 导学案 版 本：人教版 审核人：数学组 年级：九

篇一：9月份一元二次方程的解法教学反思

一元二次方程的解法的复习教学反思

徐美花

本节课是在教完一元二次方程的四种解法的基础上，综合运用这四种解法去解一元二次方程。由于学生的学习基础弱，在教学设计上要下一些功夫。

课前我所定的教学目标是让学生学会用合适的方法解一元二次方程。教学重点应放在解题方法上，让学生通过观察发现每一种解法的特征，使学生能够根据特征选择合适的解题方法。我采用的教学方法是先归纳总结，再讨论练习。即让学生先回忆用四种不同方法所解的方程各有哪些特征，再用具体的题目进行练习加以巩固。

课中，在对四种方法所对应的方程的特征进行归纳时，学生的反应很慢，无法正确回答出老师的提问，说明学生对四种解法是一知半解，模糊不清的。针对这个问题，老师只能把各方法所对应的方程的特征给学生梳理得更具体详细些。

2比如开平方法对应的方程最终特征为：(含x的一次式）=常数，因式分解法特

征为：能因式分解的二次式=0，配方法和公式法特征：不能因式分解的二次三项式=0.并且补充：若方程右边是零，左边缺常数项，可直接提取x因式分解；若方程右边是零，左边缺一次项，可用开平方法解。并且给出小妙招：在无法判断用什么方法解方程的情况下，可将方程先化为一般式，再用配方法或公式法两种“万

《一元二次方程的解法》复习教案

教材分析：

一元二次方程的解法是九年级上册第一章的内容，本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（直接开方、配方法、公式法、因式分解法）,运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备.学好这部分内容，对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义。

学情分析：学生已经学习了一元二次方程的概念、及直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法和一元二次方程的实际应用，需对这部分知识进行系统复习、综合练习、查缺补漏。 教学目标 :

知识目标：（1）掌握用直接开平方配方法一元二次方程的求根公式，能够运用求根公式解一元二次方程。会用因式分解法解某些一元二次方程解法解一元二次方程，会用直接开平方法解方程。

能力目标：培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力。 情感态度：通过对一元二次方程解法的复习，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

教学重点和难点

重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。

23.2一元二次方程的解法（配方法）

◆随堂检测

1.将一元二次方程x2?6x?5?0化成(x?a)2?b的形式，则b等于_____. A.-4 B. 4 C.-14 D. 14 2. x2?nmx?_____?(x?___).

23. 二次三项式x2?7x?1的最小值为______. 4. 若方程x2?px?q?0可化为(x?1)?2324725. 方程2y2?3?7y配方后得2(y?)=_________.

4，则p=_____，q=______.

◆典例分析

说明不论m为何值时，关于x的方程(m2?8m?17)x2?2mx?1?0都是一元二次方程。 解析：因为m2?8m?17?m2?8m?16?16?17?(m?4)2?1?1>0, 所以不论m为何值，该方程都是一元二次方程。 点评：关键是看二次项系数是否有可能为0。

◆课下作业

●拓展提高

7. 当x=______时，?3x?6x?2有最大值，这个最大值是_______.

8. 如果a、b、c是△ABC的三边，且满足式子a?2b?c?2ab?2bc，请指出△ABC的形状，并给出论证过程.

9. 说明代数式2x?4x

代数综合检测

一元二次方程的概念与解法

【知识要点】

1． 一元二次方程的概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式

ax2 bx c 0（a 0）是一元二次方程的一般形式.

3．一元二次方程的解法主要有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法.

4．解一元二次方程，直接开平方法是一种特殊方法，配方法与求根公式法是一般方法，对于任何一元二次方程都可使用。解题的关键是要根据方程系数的特点及方程的不同形式，选择适当的方法，使解法简捷．

【经典例题】

例1．判断下列方程是不是一元二次方程：

（1）x2 y 1 （2）42 12x x 3 xy 1 0 （3） （4）2x 1

（5） a 1 x2 k 1（a 1、k是常数） （6） x 1 x2 x 1 x2 2x 1 x 1 例2．用直接开方法解下列方程:

(1)2x 8 0

例3．用配方法解下列方程:

(1)x 6x 16 0

例4 用公式法解下列方程:

(1)2x 3x 1 0

例5 用因式分解法解下列方程：

(1)2x 5x 2 0

2222 (2)(x 5)2 36 0 (3)(x 4