近世代数第二章群答案

近世代数第二章群论答案

§1. 群的定义

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如

3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出

首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G

因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有

?aa?a?ea?a a?aa??ae?a

而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的

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定义：

IV? G里至少存在一个右逆元a?1，能让

ae=a 对于G的任何元a都成立；

V? 对于G的每一个元a，在G里至

近世代数第二章群论答案

§1. 群的定义

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如

3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出

首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G

因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有

?aa?a?ea?a a?aa??ae?a

而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的

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定义：

IV? G里至少存在一个右逆元a?1，能让

ae=a 对于G的任何元a都成立；

V? 对于G的每一个元a，在G里至

近世代数第二章群论答案

§1. 群的定义

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如

3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出

首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G

因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有

?aa?a?ea?a a?aa??ae?a

而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的

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定义：

IV?

G里至少存在一个右单位元e，能让

ae=a

对于G的任何元a都成立；

V? 对于G的每一个元a，在G里至少

第二章 群 论 20

第二章 群论

本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．

§1 群的定义及基本性质

2.1 半群的定义

设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素a,b关于“·”运算结果a?b简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是

指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．

定义1 如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即

?a,b,c?S,有(ab)c?a(bc)，则称S关于它的乘法是一个半群，简称S是一个半群．

例1

第二章 群论

近世代数习题第二章 第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52

题，最后提交时间为11月25日

1、设G是整数集，则G对运算 a?b?a?b?4 是否构成群？

2、设G是正整数集，则G对运算 a?b?a 是否构成群？

3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群.

4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元. 5、G是整数集，则G对运算 a?b?1 是否构成群？

6、设a,b是群G中任意两元素. 证明：在G中存在唯一元素x，使得axba?b. 7、设u是群G中任意取定的元素，证明：G对新运算a?b?aub也作成群. 8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限.

9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限. 10、设群G中元素a阶数是n，则 a?e?n|m.

11、设群G中元素a阶数是n，则 |a|?mbmn.，其中k为任意整数. (m,n) 设（m,n）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^

1：证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。 证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。 （2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。 （3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。 （4）零元是零矩阵。?A∈Mn(R),A+0=0+A=A。 （5）?A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。 ∴（Mn(R),+）构成一个Abel群。

2：证明：实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。

证明：显然GLn(R)是个非空集合。

对于任何的A,B∈GLn(R)，令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0,所以C∈GLn(R)。

⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。 ⑵对任意A∈GLn(R)，AE=EA，所以E是单位元。

⑶任意的A∈GLn(R)，由于∣A∣≠0,∴A的逆矩阵A，满足

?1AA?1?A?1A?E且∴A的逆元是 A?1.所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。

3：证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这

近世代数习题解答

第二章 群论

1 群论

1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?

证 不是一个群,因为不适合结合律.

2. 举一个有两个元的群的例子.

证 G?{1,?1} 对于普通乘法来说是一个群.

3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件

4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae?a 对于G的任何元a都成立

5'. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a?1,能让 aa?1?e 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa?1?e 得a?1a?e 因为由4'G有元a'能使a?1a'?e 所以(a?1a)e?(a?1a)(a?1a')

?[a?1(aa?1)]a'?[a?1e]a'?a?1a'?e 即 a?1a?e

(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 ae?a 得 ea?a ea?(aa?14,5来作群的定义:

近世代数复习

一、单项选择题(20分)

1、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群。

A. G为整数集合，*为加法 B. G为偶数集合，*为加法 C.G为有理数集合，*为加法 D. G为有理数集合，*为乘法 2、设A={所有实数}，A的代数运算a?b=a+2b（ ） A.适合结合律但不适合交换律；B.不适合结合律但适合交换律； C.既适合结合律又适合交换律；D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中，不包含15Z的子群是（ ）。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z （D）13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac，那么

2?1x?（ ）

A. bc?1a?1； B.c?1a?1； C.a?1bc?1； D.b?1ca。

5、设G＝Z，对G规定运算o，下列规定中只有（ ）构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法）

6、设H

(B) ab1∈H (C) a1b∈H

－

－

(C) aob=2? a+3?

安徽大学2008—2009学年第一学期 《近世代数》考试试卷（B卷）

一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由） 1、模n的同余关系是一个等价关系．

2、整数集Z对于普通的数的乘法作成一个群． 3、?x?是Z[x]的一个极大理想．

4、在同态映射下，正规子群的象是正规子群． 5、数域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环． 二、计算分析题

1、设两个六次置换：??(134652)，??(1235)(46)计算：??，?2?，????1． 2、求剩余类环Z12的所有可逆元和所有子环． 3、在Z8中计算：([4]x3?[3]x?[2])([5]x2?x?[3]) 三、举例题（对下列的各种情形，请各举一例） 1、环的素理想而非极大理想；

2、环和其一个子环均有单位元，但二者不相等； 3、正规子群的正规子群不是原来群的正规子群． 四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分） 1、证明在一个有限群中：

1) 阶数大于2的元素的个数一定是偶数；

2) 偶数阶群里阶等于2的元素个数一定是奇数． 2、设H?G，证明：对?a?G,aHa?1?G且aHa?1?H．

????a2b??a,b?数域F3、证明：对集合R????关于普通的矩阵的加法和乘法

练 习 题

第一次作业

1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B，A?B，A?B，B?A。 2、设A，B是U的子集，规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明： (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。

3、求下列集合的所有子集： (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}

4、设f：A?B和g：B?C是映射，证明： (1) 如果f和g是单射，则gf是单射 (2) 如果f和g是满射，则gf是满射 (3) 如果gf是单射，则f是单射 (4) 如果gf是满射，则g是满射.

5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射

(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合，在R?R上规定二元关系“~”为：

（a, b）~ (c, d)?a+d=b+c

证明“~”是R上的一个等价关系。

7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关