高等数学同济第七版讲义

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章

1 新东方考研高等数学电子教材

主讲：汪诚义

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第七章 多元函数积分学

§7.1 二重积分

（甲）内容要点

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题

口诀（40

）：多重积分的计算，累次积分最关键。

模型I ：设有界闭区域

()()(){}x y x b x a y x D 21,|,??≤≤≤≤=

其中()x 1?，()x 2?在[]b a ,上连续，()y x f ,在D 上连续，则

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b a D D dy y x f dx dxdy y x f d y x

第七章 多元函数积分学

§7．1 二重积分

一．直角坐标系中二重积分的计算 例1．计算

??xydxdy，其中D是由曲线xy?1，x?y?D5所围区域。 2

解：

??xydxdy??dx?D1225?x21x212??51??xydy ??1?x??x???dx

22?x????2?21651?2525314??ln2 ??x?x?x?lnx?1?1282?834?2 例2．计算 例3．计算

???xDD2?y2dxdy其中D是以y?x，y?x?a，y?a和y?3a ?a?0?为边的平行四边形区域。

?2y??dxdy其中D是由摆线x?a?t?sint?，

y?a?1?cost? ?0?t?2??的第一拱和x轴所围区域。

例4．计算

x?y?1???x?y?dxdy 例5．计算??2y?x2dxdy

x?10?y?2 例6．计算

?ye??dxdy，其中D由y?x，y?1和y轴所围区域。 D 例7．计算

sinydxdy其中D由y?x和y?x所围区域。 ??yD22D其中由x?y?2ax?a?0?与x轴围成上半圆区域。 ydxdy?? 二．极坐标系中二重积

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 86

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1 空间直角坐标系

§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法

一、判断题。

1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量a,b，若a?b.则a=b同向。 ( ) 4． 若二向量a,b满足关系a?b=a+b,则a,b同向。 （ ）

????5． 若二向量a,b满足关系a?b=a+b，则a,b反向。 （ ）

6． 若

( ) 7． 向

量

a?b?a?c,则

b?c

a,b满足

aa=

bb，则

a,b同向。

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 86

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1 空间直角坐标系

§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法

一、判断题。

1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量a,b，若a?b.则a=b同向。 ( ) 4． 若二向量a,b满足关系a?b=a+b,则a,b同向。 （ ）

????5． 若二向量a,b满足关系a?b=a+b，则a,b反向。 （ ）

6． 若

( ) 7． 向

量

a?b?a?c,则

b?c

a,b满足

aa=

bb，则

a,b同向。

同济高等数学公式大全

高等数学公式

导数公式：

(tgx)??sec2x(ctgx)???csc2x(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna(logax)??1xlna(arcsinx)??11?x21(arccosx)???1?x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x2

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x?ln?a2?x22aa?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx2?cos2x??secxdx?tgx?Cdx2?sin2x??cscxdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2

《高等数学复习》教程

第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限

3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.lim

arctanx xln(1 2x)

3

x 0

lim

arctanx x

2x

3

x 0

16

（等价小量与洛必达）

2.已知lim

sin6x xf(x)

x

3

x 0

0，求lim

6 f(x)

x

2

x 0

解：x 0

lim

sin6x xf(x)

x

3

lim

6cos6x f(x) xy'

3x

2

x 0

lim

36sin6x 2y' xy''

6x6

x 0

lim

216cos6x 3y'' xy'''

6

x 0

216 3y'

复旦大学出版社 黄立宏主编的 高等数学(第三版)下册 课后习题答案 第七章

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1

）s(2) (3)

s

s

s (4)

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y

第八章 多元函数微分法及其应用

一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法

在求

?z?z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函?x?y数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，则

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????，???? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y几种特殊情况：

1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，则

dzdz?u?zdv???? dxdu?x?vdx?f?v2）z?f?x,v?，v???x,y?，则?x??x??v??x，

?z?f?z?f?v?? ?y?u?y3）z?f?u?，u???x,y?则

?zdz?u?zdz?u????， ?xdu?x?ydu?y3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况

设z?z?x,y?是由方程F?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则

F?z??x?xFz?Fz?0?，

Fy?z???yFz?Fz?0?

或者视z?z?x,y?，由方程F?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出

?z?z(或). ?x?y2）方程组的情况

由方程组??F?x,y,u,

财政学PPT

第一章市场经济与公共财政

第一节政府和市场

第二节市场失灵与公共财政

第三节公共部门与政府经济活动的范围 第四节财政概念 第五节财政职能

第一节 政府和市场

一、市场：市场效率和市场失灵 二、政府：政府干预与政府干预失效

一、市场：市场效率和市场失灵 （一）市场与市场效率 （二）市场失灵 市场失灵的主要表现: 1.垄断

2.信息不充分和不对称 3.外部效应 4.公共物品 5.收入分配不公 6.经济波动

二、政府：政府干预与政府干预失效 （一）政府的经济作用

（二）政府干预程度和干预手段 （三）政府干预失效 政府的经济作用

图1－1 政府与家庭、企业之间的收支循环流程图

政府干预手段可以概括为： 1.立法和行政手段

1

2.组织公共生产和提供公共物品 3.财政手段

政府干预失效的原因和表现： 1．政府决策失误 2．寻租行为

3．政府提供信息不及时甚至失真 4．政府职能的“越位”和“缺位”

第二节市场失灵与公共财政

市场失灵一：公共产品（public goods）

萨缪尔森认为，纯粹的公共产品是指这样的物品或劳务，即每个人消费这种物品或劳务不会导致别人对该种物品或劳务消费的减少。 纯私人物品:

Xj＝Σxi

第七章 多元函数积分学

§7.1 二重积分

(甲) 内容要点

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题

模型I：设有界闭区域

D??(x,y)a?x?b,?1(x)?y??2(x)? 其中?1(x),?2(x)在[a,b]上连续，f(x,y)在

D上连续，则

b?2(x)1(x)??f(x,y)d????f(x,y)dxdy??dx??f(x,y)dyDDa

模型II：设有界闭区域

D??(x,y)c?y?d,?1(y)?x??2(y)?

其中?1(y),?2(y)在[c,d]上连续，f(x,y) 在D上连续

d?2(y) 则

??f(x,y)d????f(x,y)dxdy??dy??DDcf(x,y)dx

1(y) 关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，

对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。 在直