定理同角的补角相等的证明

专题复习 证明线段相等角相等的基本方法(一)

一、教学目标：

知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法.

过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力.

情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展.

二、教学重点：

掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点：

分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入：

相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中.

（二）例题：

例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为

篇一：勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明（看前5个就可以了）

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2?b2?4?ab?c2?4?ab

22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab

等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠D

篇一：正弦定理的几种证明

正弦定理的几种证明

内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400）

正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。

正弦定理的内容：

在?ABC中的三边和三角分别是

a

sinA=b

sinB=c

sinC:a,b,c和A,B,C则：

一向量法

证明：在?ABC中做单位向量

i?AB?i?(AC?CB)

|sinA?|i||CB|sinCi

⊥AC,，则：?c

sinC

a

sinA?

:bsinBa

sinA?b

sinB?c

sinC 同理可证：即正弦定理可证

证明：在?ABC中做高线CD,

则在Rt?ADC和Rt?BDC中

CD=bsinA,

CD=asinB

即bsinA=asinB

a

sinA=b

sinB,同理可证：ac

sinA=sinC,

即正弦定理可证

三外接圆法

证明：做

?ABC的外接圆O,过点C连接圆心与圆交于点设圆的半径为R

∴?CAD为Rt?,且b?RsinD,且a∠D?∠B

∴b?2RsinB,即b

sinB?2R

同理:ac

sinA?2R,sinC?2R

∴ac

sinA?b

si

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初中数学竞赛专题选讲

线段、角的相等关系

一、内容提要

证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。

构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）

一. 证明两条线段相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。 2. 在两个三角形中，证明全等。

3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质

②用平行线等分线段定理 4.运用比例式证明相等：若

xyxy? 则x=y；若?则x=y

yxaa5.应用等量代换、等式性质

二.证明两个角相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。 2. 在两个三角形中，证明全等或相似。 3.在平行线图形中

① 用平行四边形的对角相等

② 行线的同位角相等，内错角相等

③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等 ④ 角（或等角）的余角（或补角）相等 ⑤ 用等量代换、等式性质

二、例题

例1.

摘要】：

学院

学 术 论 文

论文题目：费马大定理的证明 Paper topic：Proof of FLT papers

姓 名 所在学院 专业班级 学 号 指导教师 日 期

本文运用勾股定理，奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析将费马大

【 定理的证明由对N>2的情况转换到证明n=4,n=p时方程x

【关键字】：费马大定理（FLT）证明

n?yn?zn无解。

Abstract : Using the Pythagorean proposition, parity properties, division of the contrast and analysis of the solutions for the equations to proof of FLT in N > 2 by th

篇一：余弦定理的六种证法

余弦定理的六种证法

法一(平面几何)：在△ABC中，已知AC

?b,BC?a,及?C，求c。

过A作AD?BC于D，是AD＝ACsinC?BCsinC，

CD?ACcos?bcosc,

C

在Rt?ABD中，AB2?AD2?BD2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc，

法二（平面向量）：

????????????????????????????2????????????2????2????????AB?AB?(AC?BC)?(AC?BC)?AC?2AC?BC?BC?AC?2|AC|?|BC| ????2

22222

cos(180?B)?BC?b?2abcosB?a，即：c?a?b?2abcosc

?

法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，

CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．

|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．

法四（利用正弦定理）：

先证明如下等式：sin证明：si

毕达哥拉斯定理的证明

侯昕彤 南京大学匡亚明学院

摘 要：

欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。包括其中涉及的4条定义，5条公设，4条公理，25个命题证明，以及主证明（欧几里德《几何原本》第一卷命题47）。

关 键 词：毕达哥拉斯定理 几何原本 欧几里德

毕达哥拉斯定理：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。

欲证明该定理，首先给出下列定义，公设以及公理： ? 定义：

【定义1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。

【定义2】圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。

【定义3】在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形。

【定义4】平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论那个方向它们都不相交。 ? 公设：

【共设1】由任意一点到另外任意一点可以画直线. 【共设2】一条有限直线可以继续延长.

【共设3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。 【共设4】凡直角都彼此相等。

【共设5】同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 ? 公理：

【公理1】等于同量的量彼此相等。 【

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初中数学竞赛专题选讲

线段、角的相等关系

一、内容提要

证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。

构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）

一. 证明两条线段相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。 2. 在两个三角形中，证明全等。

3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质

②用平行线等分线段定理 4.运用比例式证明相等：若

xyxy? 则x=y；若?则x=y

yxaa5.应用等量代换、等式性质

二.证明两个角相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。 2. 在两个三角形中，证明全等或相似。 3.在平行线图形中

① 用平行四边形的对角相等

② 行线的同位角相等，内错角相等

③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等 ④ 角（或等角）的余角（或补角）相等 ⑤ 用等量代换、等式性质

二、例题

例1.

校选课《数学文化》课程论文

一 蝴蝶定理的证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何

方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU?AD，OV?BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于

?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?

得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM，?MOF??MVC

??MV又?MAD??MCB，U、V为AD、BC的中点，从而?MUA，

?AUM??MVC

则 ?EOM??MOF，于是ME=MF。[1]

证法2 过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则

?FMD'??EMD，MD=MD' ○1

联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即

PC'?CQ。又

111?CFP=（QB+PC）=（QB+CC'+CQ）=BC'=?BD'C'

222故M、F、B、D'四点共圆，即?MBF??MD'F

而

篇一：余弦定理的证明方法集锦

余弦定理的证明方法集錦

江苏省泗阳县李口中学沈正中

余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较

经典的几种证明方法，供大家参考！

余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两

边与其夹角余弦的积的二倍。

如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝

a，CA＝b，则c2＝a2＋b2－2abcosC（或a2＝b2＋

c2－2bccosA或b2＝c2＋a2－2cacosB）。

【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD

＝bcosC，AD＝bsinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋

AD2，即AB2＝(a－bcosC)2＋(bsinC)2＝

a2－2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝

a2－2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2abcosC。

当C重合于D时，在Rt△ABC中，

∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。

当C在D左侧时，△ABC为钝角三角

形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，cos

∠ACD＝cos(180°－C)＝－cosC，sin∠

ACD＝sin(180°－C)＝sinC，所以CD＝

bcos(180°－C)＝－bcosC，AD＝b

sin(180