用解析几何的方法证明椭圆

解析几何证明问题

x2y261、 已知椭圆T:2?2?1(a?b?0)的一个顶点A?0,1?，离心率e?，圆C:x2?y2?4，从圆C上任意一点

ab3P向椭圆T引两条切线PM,PN.

（1）求椭圆T的方程； （2）求证：PM?PN.

x2c6?y2?1 --------------4分 解：（Ⅰ） 由题意可知：b?1，?椭圆方程为：3a3 （Ⅱ）法1：(1) 当P点横坐标为?(2) 当P点横坐标不为?3时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM?PN----------5分

223时，设P(x0,y0),则x0?y0?4,设kPM?k

?y?y0?k(x?x0)?PM的方程为y?y0?k(x?x0),联立方程组 ?x2

2??y?1?322消去y得：(1?3k2)x2?6k(y0?kx0)x?3k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ------6分 22依题意：??0即??36k2(y0?kx0)2?41?3k23k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ---------8分 22化简得：(3?x0)k2?2x0y0k?1?y0?0

2221?y01?(4?x0)x0?3?????1 2223?x03?x03?x0

解析几何证明问题

x2y261、 已知椭圆T:2?2?1(a?b?0)的一个顶点A?0,1?，离心率e?，圆C:x2?y2?4，从圆C上任意一点

ab3P向椭圆T引两条切线PM,PN.

（1）求椭圆T的方程； （2）求证：PM?PN.

x2c6?y2?1 --------------4分 解：（Ⅰ） 由题意可知：b?1，?椭圆方程为：3a3 （Ⅱ）法1：(1) 当P点横坐标为?(2) 当P点横坐标不为?3时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM?PN----------5分

223时，设P(x0,y0),则x0?y0?4,设kPM?k

?y?y0?k(x?x0)?PM的方程为y?y0?k(x?x0),联立方程组 ?x2

2??y?1?322消去y得：(1?3k2)x2?6k(y0?kx0)x?3k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ------6分 22依题意：??0即??36k2(y0?kx0)2?41?3k23k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ---------8分 22化简得：(3?x0)k2?2x0y0k?1?y0?0

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解析几何题型与方法

高考解析几何涉及直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程、性质及其相互之间的关系，其本质是使用代数的方法解决几何问题，因此数形结合是最常用的思想方法，同时转化思想、函数与方程思想等也比较常用。在解题时，解析几何问题的题目较为明确，每一各设问的顺序也决定了解题的顺序，考生容易找到解题思路，但难点在于，解析题容易找到路标，找到路标之后怎没走和庞大的运算量是困扰考生的关键问题。

解析答题通常是五种线型中两或三种线形组合而成，常见有以下四种题型： 题型一：轨迹与方程（判定线型并求出轨迹方程） 题型二：范围与最值（通常是题目中某个参数的范围）

题型三：定值与定性（证明某个参数的定值或以式子的形式明确的关系） 题型四：存在与探索（讨论存在性） 【考点精析】

考点一 曲线（轨迹）方程的求法 常见的求轨迹方程的方法：

（1）单动点的轨迹问题——直接法（五步曲）＋ 待定系数法（定义法）； （2）双动点的轨迹问题——代入法；

（3）多动点的轨迹问题——参数法 ＋ 交轨法。

例题1. 已知⊙M：x2?(y?2)2?1,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果|AB|?42，求直线MQ的方程； 3 （2）求动弦AB的中点P的

.

.专业WORD 浅谈解析几何的学习方法

高中数学中的解析几何容学生之所以会觉得难是因为对几个常用公式、定理的含义并没有真正弄清楚，实际上如果能花时间把每个公式的推导过程研究一遍消化掉，那么学好它将不是什么疑难问题了。

我们知道，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”——我国著名数学家华罗庚。

作为学习解析几何的开始，我们引入了我国著名的数学家华罗庚的一句话，他告诉了我们“数”和“形”各自的特点和不足，从而强调了数形结合的重要性，尤其是在解析几何的学习过程中，我们始终都要注意运用数形结合的思想和方法。

当然，学习这一部分容，只是了解这种思想也是不够的为此，就为大家介绍一下学习解析几何的方法和需要注意的几点。

一、夯实基础

1、正确理解定义

有些同学可能现在就会去翻书，去查定义，会说，回答这些问题还不容易嘛，我背一下不就可以了吗。可是，我要告诉大家——定义不是用来背的。

.

可能大家还没有理解这句话的意思，定义不是要你去死记硬背，而是要你去自己理解，去自己总结。

教材上引入椭圆定义的时候花费了很大的篇幅，可它的本质是什么？与双曲线的定义又有怎样的相同点、不同点？椭圆、双曲线和抛物线这三个重要的圆锥曲线的统一定义我们又该如何去理解？这些

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2006年10月重印版）

课程编号 22143102

课程名称 解析几何

课程类别 专业必修

教材名称 解析几何

制 订 人 汤建良

审 核 人 刘则毅

2005年 4 月修订

- 1 -

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质 1．课程类别：专业必修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（应用数学方向） 3．开设学期：第壹学期 4．学时安排：周学时3，总学时42 5．学分分配：3学分 （二）开设目的 解析几何是中学几何的继续与发展，既有深刻的数学理论意义，也有广泛的实际应用价值。在实际工程中的许多重要领域都有它的应用价值。通过本课程的学习，同学们还可以加深对中学三角和几何学的认识与理解，有助于解决一些初等数学问题。解析几何的一些思想方法在数学中具有普遍性。通过本课程的学习，能使学生提高数学素养，并为学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 （三）基本要求 掌握解析几何的基本理论与方法，深刻理解解

简化解几运算八法

解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代

数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。

1.回归定义

圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。

例1 过椭圆左焦点倾斜角为60?的直线交椭圆于点A,B且FA?2FB，则此椭圆离心率为_____.

2?x2y?2?1,2解析 本题的常规解法是：联立?再结合条件FA?2FB求解，运算量大，b?a?y?3(x?c)?作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解：

FM?BB??13(AA??BB?)?13(AA??2BB?) ?1AF2BF(?)， 3eey另一方面，在Rt?BC?F中?BFC??60??BF?2FC?, 故FM?FC??C?M?BFe?BF2.于是

A?MB?CC?FBAxO1AF2BFBFBF， (?)?FM??3eee2又FA

简化解几运算八法

解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代

数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。

1.回归定义

圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。

例1 过椭圆左焦点倾斜角为60?的直线交椭圆于点A,B且FA?2FB，则此椭圆离心率为_____.

2?x2y?2?1,2解析 本题的常规解法是：联立?再结合条件FA?2FB求解，运算量大，b?a?y?3(x?c)?作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解：

FM?BB??13(AA??BB?)?13(AA??2BB?) ?1AF2BF(?)， 3eey另一方面，在Rt?BC?F中?BFC??60??BF?2FC?, 故FM?FC??C?M?BFe?BF2.于是

A?MB?CC?FBAxO1AF2BFBFBF， (?)?FM??3eee2又FA

篇一：解析几何知识点总结

抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0

1、定义：

2、几个概念：

① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数；1

② ；

4

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p

3、如：AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN?l，N为垂足，BD?l，AH?l，D，H为垂足，求证：

（1）HF?DF； （2）AN?BN； （3）FN?AB；

（4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN；

2

（5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p，x1x2?

12

p； 4

（6）1?1

|FA|

|FB|

?

2； p

（7）A,O,D三点在一条直线上

2

（8）过M作ME?AB，ME交x轴于E，求证：|EF|?1|AB|，|ME|?|FA|?|FB|；

2

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|e(e注意： |

F1F2|）的点的轨迹。

?1)的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2

用向量解决解析几何中“角”的有关问题

同济二附中 钱嵘

向量（vector）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。希腊的亚里士多德（前384-前322）已经知道力可以表示成向量，德国的斯提文（1548?-1620?）在静力学问题上，应用了平行四边形法则。伽利略（1564-1642）清楚地叙述了这个定律。稍后丹麦的未塞尔（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）发现了复数的几何表示，德国高斯（1777-1855）建立了复平面的概念，从而向量就与复数建立了一一对应，这不但为虚数的现实化提供了可能，也可以用复数运算来研究向量。

向量是高中数学新教材与高中数学课程标准中新增内容，向量的应用是一种新的思想方法,由于常规视角的转变，形成了新的探索途径，容易激发并凝注学生的参与，探索新的解题途径，展示各自的思维能力和创新意识。

向量具有代数与几何形式的双重身份，它可以作为新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与解析几何或三角的交汇是当今高考命题的必然趋势.

本文主要从“角”的角度关注了一些近年来与向量相关的高考题，浅析了一些命题趋势，希望为向量教学或复习带来一些帮助。 一．用来证明直线间的垂直关系

例题1. （20

空间解析几何

基本知识 一、向量

1、已知空间中任意两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，则向量

M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

2、已知向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)，则 （1）向量a的模为|a|???????a1?a2?a3

222（2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3) （3）?a?(?a1,?a2,?a3) 3、向量的内积a?b

（1）a?b?|a|?|b|?cos?a,b? （2）a?b?a1b1?a2b2?a3b3

其中?a,b?为向量a,b的夹角，且0??a,b???

注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积a?b（遵循右手原则，且a?b?a、a?b?b）

??????????????????????????ia?b?a1??ja2b2??ka3 b3??b1??5、（1）a//b?a??b?????a1a2a3 ??b1b2b3（2）a?b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0 二、平面

100

1、平面的点法式方程

已知平面过点P(x0,y0,z0)，且法向量为n?(A,B,C)，则平面方程为