立体几何向量法找坐标
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立体几何中的，向量方法（坐标法）
高二数学学案 教案编写： 审核人： 高二数学组 使用时间： 编号：1
3.2.立体几何中的向量方法（坐标法） 【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的坐标方法； 【学习重点】坐标法解决立体几何问题的三个步骤； 【学习难点】立体几何问题到向量坐标问题的转化； 【学习过程】 1、 直线的方向向量： 。 2、平面的法向量： 。 3、 例题2：如图二面角中α---L---β中AC、BD都与L垂直AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α---L---β的余弦值 F'βB C αDlA例题讲解 D'例题1：如图四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此
立体几何中的，向量方法（坐标法）
高二数学学案 教案编写： 审核人： 高二数学组 使用时间： 编号：1
3.2.立体几何中的向量方法（坐标法） 【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的坐标方法； 【学习重点】坐标法解决立体几何问题的三个步骤； 【学习难点】立体几何问题到向量坐标问题的转化； 【学习过程】 1、 直线的方向向量： 。 2、平面的法向量： 。 3、 例题2：如图二面角中α---L---β中AC、BD都与L垂直AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α---L---β的余弦值 F'βB C αDlA例题讲解 D'例题1：如图四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此
法向量在立体几何中的应用.
1 法向量在立体几何中的应用
查宝才
（扬州市新华中学，江苏 225002）
向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。
1 法向量的定义
1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直，则称向量n 为平面α的法向量。
1.2 定义2 任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax ，222(C B A ++ )0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中),,(C B A n =为其一个法向量。]1[ 事实上，设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点，),,(C B A n =是平面α的法向量，设点),,(z y x P 是平面α上任一点，则总有n P P ⊥0。
∴ 00=?n P P ， 故 0),,(),,(000=---?z z y y x x C B A ，
即 0)()()(000=-+-+-z z C y
立体几何中的向量方法之方向向量与法向量
3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量
一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
A
l
a
P
直线的方向 向量不唯一
直线l的向量式方程
AP ta
练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l
a AP 0
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有
aAP
n m 0
巩固性训练11.设
a,
立体几何中的向量方法之方向向量与法向量
3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量
一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
A
l
a
P
直线的方向 向量不唯一
直线l的向量式方程
AP ta
练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l
a AP 0
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有
aAP
n m 0
巩固性训练11.设
a,
空间向量与立体几何
关于空间向量与立体几何
1 空间向量与立体几何
一、平行与垂直问题
（一） 平行
线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。
（二） 垂直
线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论
二、夹角与距离问题
（一） 夹角
（二）距离
点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.
1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，
设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则
l ∥m ?a ∥b a k b ?=
；
l ∥α?a
u ⊥ 0a u ??=
；
α∥β?u ∥v .u k v ?=
设直线,l m 的方向向量分别为
,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则
l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；
l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=
；
α⊥β?u ⊥v .0=??v u
设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则
①两直线l ,m 所成的角为θ(02π
θ≤≤),cos a b
a b
θ?=
；
②直线l 与平面α
高中数学：向量法解立体几何总结
向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.
⑵．平面的法向量： 若向量n所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作
n??，如果n??，那么向量n叫做平面?的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面?的法向量为n?(x,y,z)．
③求出平面内两个不共线向量的坐标a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)．
??n?a?0④根据法向量定义建立方程组?.
??n?b?0⑤解方程组，取其中一组解，即得平面?的法向量.
2、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行。设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即
a?kb(k?R).
⑵线面平行。设直线l的方向向量是a，平面?的法向量是u，则要证明l∥?，只需证明
a?u，即a?u?0.
⑶面面平行。若平面?的法向量为u，平面?的法向量为v，要证?∥?，只需证u∥v，即证u??v.
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直。设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要
立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式）
立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式）
例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱
ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2,
E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为的长.
2, 求线段AM6
【答案】解：方法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．
→→→→
(1)证明：易得B1C1＝(1，0，－1)，CE＝(－1，1，－1)，于是B1C1·CE＝0，所以B1C1⊥CE. →
(2)B1C＝(1，－2，－1)，
设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，
→?B1C＝0，??·?x－2y－z＝0，则?即?消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量
?→－x＋y－z＝0，??CE＝0，?m·
为＝(－3，－2，1)．
→
由(1)，B1C1⊥
立体几何（几何法）—线面角
立体几何（几何法）—线面角
例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面
PABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。
（Ⅰ）证明：PC?平面BED；
（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。
【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所
C?EBAD以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22， PA＝2，PE＝2EC，故
23
PC＝23，EC＝3，FC＝2， PCAC
从而FC＝6，EC＝6.
PCAC
因为FC＝EC，∠FCE＝∠PCA，所以 △FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所
立体几何（几何法）—线面角
立体几何（几何法）—线面角
例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面
PABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。
（Ⅰ）证明：PC?平面BED；
（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。
【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所
C?EBAD以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22， PA＝2，PE＝2EC，故
23
PC＝23，EC＝3，FC＝2， PCAC
从而FC＝6，EC＝6.
PCAC
因为FC＝EC，∠FCE＝∠PCA，所以 △FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所