中心差分格式求解微分方程

中心差分格式

1、考虑问题

考虑二阶常微分方程边值问题：

d2uLu??2?qu?f （1） dxu(a)??,u(b)??

其中q，f为[a,b]上的连续函数，?,?为常数。

2、网格剖分与差分格式

将区间[a,b]分成N等分,分点为

xi?a?ih,i?0,1,???,N,

h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分，xi为网格节点，h为步长。

差分格式为：

ui?1?2ui?ui?1?qiui?fi2hi?1,2,???,N?1, u0??,uN??.Lhui??

3、截断误差

将方程（1）在节点离散化，由泰勒公式展开得

u(xi?1)?2u(xi)?u(xi?1)?d2u(x)?h2?d4u(x)?3????(h) ??22?4?h?dx?i12?dx?i所以截断误差为

h2?d4u(x)?Ri(u)?????(h3) 4?12?dx?i4、数值例子

u(x)?exq(x)?1?sinx

其中x??0,1?

5、求解

d2uLu??2?qu?f由，且已知 dxu(x)?exq(x)?1?sinx 可得

f(x)?exsinx

将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来，得到矩阵形式为

?2?q1h2???1??

中心差分格式

1、考虑问题

考虑二阶常微分方程边值问题：

d2uLu??2?qu?f （1） dxu(a)??,u(b)??

其中q，f为[a,b]上的连续函数，?,?为常数。

2、网格剖分与差分格式

将区间[a,b]分成N等分,分点为

xi?a?ih,i?0,1,???,N,

h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分，xi为网格节点，h为步长。

差分格式为：

ui?1?2ui?ui?1?qiui?fi2hi?1,2,???,N?1, u0??,uN??.Lhui??

3、截断误差

将方程（1）在节点离散化，由泰勒公式展开得

u(xi?1)?2u(xi)?u(xi?1)?d2u(x)?h2?d4u(x)?3????(h) ??22?4?h?dx?i12?dx?i所以截断误差为

h2?d4u(x)?Ri(u)?????(h3) 4?12?dx?i4、数值例子

u(x)?exq(x)?1?sinx

其中x??0,1?

5、求解

d2uLu??2?qu?f由，且已知 dxu(x)?exq(x)?1?sinx 可得

f(x)?exsinx

将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来，得到矩阵形式为

?2?q1h2???1??

《数学实验》报告

实验名称 常微分方程的求解 学 院 专业班级 姓 名 学 号

2013年5月

一、 【实验目的】

1. 学习在MATLAB中如何求解微分方程的方法；

2. 掌握基本的微分求解命令，学会结合学过的基础知识求解方程； 3. 熟练运用基本的解法即数值解法解微分方程； 4. 注意不同方法下求得微分方程的优缺点。

二、 【实验任务】

xsinxy?1. 求解微分方程为cosy。

''y2. 用数值方法求解下列微分方程，用不同颜色和线形将y和画在同一个

图形窗口里：

y?ty?y?1?2t初始时间：t0=0;终止时间：tf

三、 【实验程序】 1.

y=dsolve('Dy=x*sinx/cosy','x') 2.

定义的程序：

function xdot=exf(t,x)

xdot=[0 1;1 -t]*x+[0;1]*(1-2*t);

主程序：

2

'''

=?;初始条件：y|t?0?0.1 y

第七章 常微分方程与差分方程

常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可

第七章 常微分方程与差分方程

常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可

发放

常系数非齐次线性微分方程一、

f (x) = e P (x) 型 m+P (x)sinωx]型 n

λx

二、 f (x) = eλ x[P(x)cosω x l

高等数学》 《高等数学》

土木103、104 、 土木

2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

发放

二阶常系数非齐次线性微分方程 :

y′′ + py′ +qy = f (x)y =Y+y*

(p,q为常数 为常数) 为常数

①

根据解的结构定理 , 其通解为齐次方程通解 非齐次方程特解

求特解的方法

— 待定系数法的待定形式, 的待定形式

根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解

代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

发放

设非齐次方程(2)的右端 定理 4 设非齐次方程 的右端 f (x)是几个函

( 数之和, 数之和 如 y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f1(x) + f2(x)分别是方程, 而 y 与 y 分别是方程* 1 * 2

y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f1(x) ( y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f2(x) (的特解, 就是原方程的特解.

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以

第三篇 第十章 常微分方程（组）求解

Matlab常微分方程（组）求解 一、 求微分方程的解

（一） 相关函数（命令）及简介

1， dsolve('equ1','equ2',…):Matlab求微分方程的解析解。

equ1,equ2,…为方程（或条件）。写方程（或条件）时用Dy表示y关于自变量的一阶导数，用D2y表示y关于自变量的二阶导数，依次类推。

2， simplify(s):对表达式s使用maple的化简规则进行化简。 例如： syms x

simplify(sin(x)^2+cos(x)^2) ans=1

3,[r,how]=simple(s):由于Matlab提供了多种化简规则，simple命令就是对表达式s用各种规则进行化简，然后用r返回最简形式，how返回形成这种形式所用的规则。 例如： syms x

[r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2) r=cos(2*x) how=combine

4,[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0),求微分方程的数值解。 （1）其中的solver为命令

ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一

的高等数学练习题 第九章 微分方程与差分方程

系 专业 班 姓名 学号 第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程（一）

一．选择题

1．微分方程xyy???x(y?)3?y4y??0的阶是 （ A ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 2．微分方程

y??2y?0的通解是 （ C ）

（A）y?Csin2x （B）y?4e2x （C）y?Ce2x （D）Y?Cex

3．微分方程y\?11?y(y?)2?0的通解是 （ C （A）Cx （C）CCx1ex?C2 （B）e?C2e1?1 （D）Cx1e?C2x

4．下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是

第十二章 微分方程

一、内容提要

（一）主要定义

【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.

【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.

一般形式为： Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为：y?n??(n)??0.

??fx,y,y?,?,y?n?1?.

?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,

或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.

根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.

【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.

例

【例1