极限存在准则两个重要极限视频讲解

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】

1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】

1、夹逼准则；

2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】

重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】

引入：考虑下面几个数列的极限

10001、limn???i?1n1n?i1n?i221000个0相加，极限等于0。

2、limn???i?1无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、limxn，其中xn=n??3+xn-1，x1=3，极限不能确定。

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：

一、极限存在准则

1.

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则 二、两个重要极限sin x lim =1 x→0 x1 n lim(1 + ) = e n→∞ n上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则1.夹逼准则 1.夹逼准则准则Ⅰ 满足下列条件: 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:

的极限存在, 那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n = a . →∞n

(1) yn ≤ xn ≤ z n ( n = 1,2,3L) ( 2) lim yn = a , lim zn = a , →∞ →∞n→ ∞ n→ ∞

证 Q yn → a ,

zn → a ,

ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

当 n > N 1时恒有 y n a < ε,当 n > N 2时恒有 z n a < ε ,

取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a ε < y n < a + ε,

上两式同时成立, 上两式同时成立

a ε < z n

第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

机动

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 (P37 定理4) 定理1x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

机动

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定理1

x x0

lim f ( x) An

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)机动 目录

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经济数学基础 第2章 导数与微分

第二单元 两个重要极限与函数连续性

第一节 两个重要极限 一、学习目标

通过本课程的学习，我们要学会两个重要极限公式，要会用重要极限公式计 一些函数的极限.

二、内容讲解

limsinxx?1第一个重要极限公式：

x?0

sinx几何说明：如图，设x为单位圆的圆心角，则x对应的小三角形的面积为2xtanx2，

x对应的扇形的面积为2，x对应的大三角形的面积为当x?0时，它们的面

积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.

lim(1?x??1x1第二个重要极限公式：

limsinxx??)x?e；x?0lim(1?x)x?e

问题思考：x?? 0.这不是第一个重要极限公式，当x??时，此式为无穷小量乘以有界变量，其结果仍为无穷小量. 三、例题讲解

limsin3xx例1 x?0

——50——

经济数学基础 第2章 导数与微分

解：

limsin3xxx?0=

lim3sin3x3x13xx?0?3limsin3x3xx?0?3

例2 求极限x??lim(1?x??lim(1?)x

13x)3x?1313x解:

)?lim(1?x??x?[lim(1?x??13x11)3x

经济数学基础 第2章 导数与微分

第二单元 两个重要极限与函数连续性

第一节 两个重要极限 一、学习目标

通过本课程的学习，我们要学会两个重要极限公式，要会用重要极限公式计 一些函数的极限.

二、内容讲解

limsinxx?1第一个重要极限公式：

x?0

sinx几何说明：如图，设x为单位圆的圆心角，则x对应的小三角形的面积为2xtanx2，

x对应的扇形的面积为2，x对应的大三角形的面积为当x?0时，它们的面

积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.

lim(1?x??1x1第二个重要极限公式：

limsinxx??)x?e；x?0lim(1?x)x?e

问题思考：x?? 0.这不是第一个重要极限公式，当x??时，此式为无穷小量乘以有界变量，其结果仍为无穷小量. 三、例题讲解

limsin3xx例1 x?0

——50——

经济数学基础 第2章 导数与微分

解：

limsin3xxx?0=

lim3sin3x3x13xx?0?3limsin3x3xx?0?3

例2 求极限x??lim(1?x??lim(1?)x

13x)3x?1313x解:

)?lim(1?x??x?[lim(1?x??13x11)3x

第三节

极限运算法则

一、极限四则运算法则定理1. 若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则

(1) lim[f (x) g(x)] = limf (x) limg(x) = A B(2) lim[f (x) g(x)] = limf (x) · limg(x) = A · B

f ( x) lim f ( x) A (3) 若B 0, 则 lim . g ( x) lim g ( x) B

推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则

(1) lim[Cf (x)] = C limf (x) (2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n

2x x 4 例1. 求 lim x 2 x 63 2

更一般的, 有结论: 若f (x)为初等函数, 且f (x)在点 x0处有定义. 则 lim f ( x ) f ( x0 )x x0

xn 1 例2. 求 lim m , 其中m, n为自然数. x 1 x 1

解: 注意到公式

x n 1 ( x 1)( x n 1 x n 2 1)有( x 1)( x n 1 1

第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

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定理1. lim f ( x) Ax x0

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.n

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)

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第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

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定理1. lim f ( x) Ax x0

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.n

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)

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定理1. li

数列极限四则运算的两个易错占

I

‘ l

20 0 0年弟 l期摘要数列极限的加、减与乘的运算法则能推广到有限个

数列的情况，但不能适用无限个数列的情况注意运用数列极限四则运算的前提条件。蜘 关键词极限有限个个

数列极限四则运算的两个易错占课本中对数列极限运算 绐出T四则运算法则 .这些浊则有两点应引起学生注意比如数列极限的加、溅与乘的运算法则能推广到有限个数列的情况 .但不能通 1无限个数列的情讨况另外，法刚指出：“若两个数列都有极限 .”这足运用数列极限四则运算的前提条件。【题】例

纽厂

,■聂狮 .

l求下列极限：、( l ( 1)i￣ a r…- -

n

南 _ .

)

、

正确的解法：

由 o 于<+n— -

_-<一…一 ' -一 . .÷一

1

—

毳『l

而

n。

一一，1 1十

n=i— 0 n。 )由迫性知： n (一。 .一敛

‘+毒南错误的解法：L (1 i a ro

++ )。…悉一_ I. ._ )=Lm i l i￣ lm.,

+

=…

…

一

一

+

一o o。+。 o+ -…

2求下列极限：、

(l4… ) 1i 4++ ) m( 1 (三++ 2 i三一… ) )解：1南极限四则运算法则知 (), I'、

原一 l【三+ l _『

极限及几种求极限重要方法的探究

王龙科

西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃兰州 730070

摘要： 极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。 关键词： 极限；高等数学；求极限的方法

一、引言

极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。

二、极限理论 1、数列极限

定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称 f: N?→R 或 f(n),n∈N?

为数列.因为正整数集N?的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作 a1，a2，…，an…