高中数学导数综合题

专题八 竞赛中的杂题选讲

一、 选择题（每小题6分）

1．（05全国）记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{a1a2a3a4?2?3?4|ai?T,i?1,2,3,4},将7777M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

55635562?2?3?4 B．?2?3?4 7777777711041103 C．?2?3?4 D．?2?3?4

77777777A．

解：用[a1a2?ak]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以7，得

4M??{a1?73?a2?72?a3?7?a4|ai?T,i?1,2,3,4}?{[a1a2a3a4]7|ai?T,i?1,2,3,4}.

M? 中的最大数为[6666]7?[2400]10。

在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而

1104[396]10?[1104]7将此数除以74，便得M中的数?2?3?4.故选C

77772．（04天津）如图，以O(0,0)、A(1,0)为顶点作正?OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点

专题八 竞赛中的杂题选讲

一、 选择题（每小题6分）

1．（05全国）记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{a1a2a3a4?2?3?4|ai?T,i?1,2,3,4},将7777M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

55635562?2?3?4 B．?2?3?4 7777777711041103 C．?2?3?4 D．?2?3?4

77777777A．

解：用[a1a2?ak]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以7，得

4M??{a1?73?a2?72?a3?7?a4|ai?T,i?1,2,3,4}?{[a1a2a3a4]7|ai?T,i?1,2,3,4}.

M? 中的最大数为[6666]7?[2400]10。

在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而

1104[396]10?[1104]7将此数除以74，便得M中的数?2?3?4.故选C

77772．（04天津）如图，以O(0,0)、A(1,0)为顶点作正?OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点

专题：直线方程常见重点综合题型训练

题型一：斜率与倾斜角问题 1．填空：

(1)若直线倾斜角α满足? ? ?45 ? ,120 ?? ，则斜率k的范围是 .

(2)若直线斜率k满足k ? ? ?? 1 , 3 ??3? ，则倾斜角α 的范围?是 .

2．已知两点A (-4, 3) , B (3, 2) ,过点P (0, -1)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k和倾斜角α 的取值范围.

题型二：垂直与平行问题

1．已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），若直线CD⊥AB，且CB∥AD求点D坐标．

2．已知点P（-1，3）和直线l：x?2y?3?0． (1)求过点P且与直线l平行的直线方程； (2)求过点P且与直线l垂直的直线方程；

3．已知直线l1：ax?3y?1?0，l2：x?(a?2)y?a?0，问m为何值时： （1）l1?l2； （2）l1//l2.

题型三：定点问题

1．直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该定点的坐标是 .

2．已知直线l：（ a ? 2 ) x ? ( a ? 1 ) y ?

导数综合题集锦

1．已知函数f(x)?x?alnx,其中a为常数，且a??1.

（Ⅰ）当a??1时，求f(x)在[e,e2]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若f(x)?e?1对任意x?[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围. 2. 已知函数f(x)?alnx?1,a?R. x （I）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值； （II）求函数f(x)的单调区间；

（III）当a=1，且x?2时，证明：f(x?1)?2x?5. 3. 已知f(x)?x3?6ax2?9a2x（a?R）． （Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）当a?0时，若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，求实数a的取值范围． 4．已知函数f(x)?13x?ax2?(a2?1)x?b(a,b?R). 3 （I）若x=1为f(x)的极值点，求a的值；

（II）若y?f(x)的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为x?y?3?0，

（i）求f(x)在区间[-2，4]上的最大值；

（ii）求函数G(x)?[f'(x)?(m?2)x?m]e(m?R)的单调区间

5．已知函数f(x)?lnx??xa. x

导数综合题集锦

1．已知函数f(x)?x?alnx,其中a为常数，且a??1.

（Ⅰ）当a??1时，求f(x)在[e,e2]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若f(x)?e?1对任意x?[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围. 2. 已知函数f(x)?alnx?1,a?R. x （I）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值； （II）求函数f(x)的单调区间；

（III）当a=1，且x?2时，证明：f(x?1)?2x?5. 3. 已知f(x)?x3?6ax2?9a2x（a?R）． （Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）当a?0时，若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，求实数a的取值范围． 4．已知函数f(x)?13x?ax2?(a2?1)x?b(a,b?R). 3 （I）若x=1为f(x)的极值点，求a的值；

（II）若y?f(x)的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为x?y?3?0，

（i）求f(x)在区间[-2，4]上的最大值；

（ii）求函数G(x)?[f'(x)?(m?2)x?m]e(m?R)的单调区间

5．已知函数f(x)?lnx??xa. x

高中数学高考综合复习导数及其应用

导数及其应用

一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数

在点

及其附近有定义，当自变量x在

处有增量△x（△x可正可负），则函

数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数

在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，

并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作

，即

高中数学高考综合复习导数及其应用

。

（Ⅱ）如果函数对于开区间（

在开区间（

）内每一点都可导，则说 ，都对应着一个确定的导数

在开区间（

在开区间（

）内可导，此时，

）内构 或

，

）内每一个确定的值 ，这样在开区间（

成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 ）内的导函数（简称导数），记作

即

认知： （Ⅰ）函数数值；

（Ⅱ）求函数 ①求函数的增量

在点

在点

的导数 处的导数

。

是以x为自变量的函数，而函数 是

的导函数

当

在点 处的导数 是一个

时的函数值。

处的导数的三部曲：

；

②求平均

专题八 竞赛中的杂题选讲

一、 选择题（每小题6分）

1．（05全国）记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{a1a2a3a4?2?3?4|ai?T,i?1,2,3,4},将7777M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

55635562?2?3?4 B．?2?3?4 7777777711041103 C．?2?3?4 D．?2?3?4

77777777A．

解：用[a1a2?ak]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以7，得

4M??{a1?73?a2?72?a3?7?a4|ai?T,i?1,2,3,4}?{[a1a2a3a4]7|ai?T,i?1,2,3,4}.

M? 中的最大数为[6666]7?[2400]10。

在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而

1104[396]10?[1104]7将此数除以74，便得M中的数?2?3?4.故选C

77772．（04天津）如图，以O(0,0)、A(1,0)为顶点作正?OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点

高等数学

五、其它题型（共 121 小题，）

x?0,?cosx 1、讨论f(x)??点的可导性。 在 x?0　1 , x?0??sinx2，　　x?0?2、设f(x)??x，讨论f(x)在 x?0　处的可导性。

?0　　　，　x?0?1　，x?a，3、研究f(x)?.在 x?a点的可导性。 x?a　　　0　　　　　　，x?a2(x?a)　arctanarctanx2　　，x?04、讨论f(x)?，在 x?0处的可导性。 x　　0　　　，x?05、讨论f(x)?(x?6、

?2)cosx，在x??2处的可导性。

?2x?1　　，x?1，讨论　f(x)??在x?1处的可导性.

lnx?3　　，x?1，?7、

?ex　　，x?0，讨论　f(x)??在x?0处的可导性.

?x?1　，x?08、

?1?cosx　　，x?0，讨论　f(x)??在x?0处的可导性. 2　x　　　，x?0?9、

设f(x)??(x)??cost2dt02xx则x?0为f(x)的那一种类型的间断点?为什么?10、

，其中?(x)在x?0处可导且?(0)?0

讨论f(x)?sinx在x??处的可导性.

11、

设　?(x)在x

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高中数学导数及其应用

一、知识网络 二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可

负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比

，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果

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时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处

的导数（或变化率），记作，即。

（Ⅱ）如果函数导，此时，对于开区间（在开区间（在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可，这样）内的导）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做函数（简称导数），记作或，即。 认知： （Ⅰ）函数是一个数值； 的导数在点是以x为自变量的函数，而函数是的导函数当在点处的导数时的函数值。 处的导数 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量 ； ②求平

考点一：求导公式。 例1. f (x)是f(x)

13

x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是。 3

1

x 2，则2

考点二：导数的几何意义。

，f(1))处的切线方程是y 例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1f(1) f (1) 。

， 3)处的切线方程是。 例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y x3 3x2 2x，直线l:y kx，且直线l与曲线C相切于点

x0,y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求a的取值范围。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 （1）求a、b的值；

3]，都有f(x) c成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x [0，

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，f x x 4 x a 。求导数f' x ；（2）若f' 1 0，求f x

2

2

在区间 2,2 上的最大值和最小值。

考点七：导数的综合性问题。

3

例8. 设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线