线性变换为旋转变换

第七章 线性变换

§7.1 线性映射

1．令?=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射?哪些是R3到自身的线性映射？ （1）?(?) =?+

? ，?是R3的一个固定向量．

（2）?(?) = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3) （3）?(?) =（x12 ，x22 ，x32）． （4）?(?) =（cosx1，sinx2，0）．

2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射?是线性映射的充要条件是：对于任意??V，都有?(?) = a?，这里a是F中一个定数．

3．令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A?Mn (F).对任意X?Mn (F)，定义

?(X) = AX–XA．

(i) (ii)

证明：?是Mn (F)是自身的线性映射。 证明：对于任意X，Y?Mn (F)，

?(XY) = ?(X)Y+X?(Y) ．

4．令F4表示数域F上四元列空间，取

?1?15?1???11?23???3?181????13?97?? A=?对于??F4，令?(?) = A?．求线性映射?的核和像的维数．

5．设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n．令?是V到W的一个线性映射．

一、“等边旋转”

例一、如图，四边形ABCD中，AD=CD,∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=2 （1）以线段BD,AB,BC作为三角形的三边，①则这个三角形为 三角形（填锐角、直角、钝角）②求BD边所对的角的度数。 （2）求四边形ABCD的面积。例一.gsp

二、利用特殊图形的主要线段寻找旋转

例二、在等腰直角△ABC中，D是AB的中点，∠EDF=90°，求证：DE=DF例二.gsp

三、“半角”问题

例三、如图17、18是两个相似比为1：2 的等腰直角△DMN和△ABC，将这两个三角形如图19放置，△DMN的斜边MN与△ABC的一直角边AC重合

（1） 在图19中，绕点D旋转△DMN，使两直角边DM、DN分别于AC、BC交于点E、

F，如图20，求证：AE?BF?EF 例三（1）.gsp

（2） 在19图中，绕点C旋转△DMN，使它的斜边CM、直角边CD的延长线分别与AB

交于点E、F，如图21，此时结论AE?BF?EF是否仍然成立？若成立，请给

出证明；若不成立，请说明理由。例三（2）.gsp

（3） 如图22，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且满足△CEF的周长等

于正方

期中复习——旋转

初三数学期中复习——旋转

班级_______姓名_______学号________

基本知识梳理：

1．在平面内，把一个图形绕着 转动 的图形变换叫做 ．点O叫

做 ，转动的角叫做 ．

2．确定图形旋转的要素是： ； ； ． 3．旋转前、后的图形具有的性质：

（1）对应点到旋转中心的 .（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 . （3）旋转前、后的图形 . 4.中心对称和中心对称图形 5.【方法总结】

（1）只要图形中存在有公共端点的等线段，就可能形成旋转型问题.

（2）当旋转角是60°时，作一个图形旋转后的图形存在等边三角形；当旋转角是90°时，存在等腰直角三角形. 反之，如果图形中存在两个等边三角形或两个等腰直角三角形或两个正方形，可以从图形旋转的角度分析图形关系.

简言之，遇中点，旋180度，构造中心对称；遇90度，旋90度，造垂直；遇60度，旋60度，造等边；遇等腰，旋顶角。但也不能思维定势，有时也可以通过轴对称、平移或辅助圆等方法解决问

线性变换及其矩阵

§1.2 线性变换及其矩阵

在讲线性空间之前我们说：“空间”是定义一些结构的能够容纳运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。由于变换的存在使得线性空间研究由静态的量的研究转化为了动态的元素之间关系的研究。那么，线性空间中的变换是如何定义的呢？它的实质又是什么呢？在本节中，我们将主要解决这一问题。

在开始定义线性变换之前，我们首先来回顾一下线性系统的定义： 线性系统的一个基本特征就是其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。叠加原理是说：若线性系统的数学描述T（T看作是信号空间上的变换）,则对任意两个输入信号x和y以及任意两个非零常数c1和c2，下述关系式满足：

部请勿

一、 线性变换

资

下面，我们给出一般线性空间上的线性变换的定义

料

T(c1x+c2y)=c1Tx+c2Ty

1. 线性变换及其性质

内

设V是数域K上的线性空间, T是V上的变换，若T满足：对

x,y∈V, k,l∈K，T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)，则称T是V上的线性变换。

那么线性变换具有什么性质呢？我们来看一下。 线性变换的性质：

(1) Tθ=T(0x+0y)=0(Tx)+0(Ty)=θ

(2) T( x)=T(( 1)x+0y)=( 1)(Tx)+0(T

第七章 线性变换

§1基本知识

§1. 1 基本概念 1、线性变换：

2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法：

3、线性变换在给定基下的矩阵： 4、矩阵的相似：

5、矩阵的迹与范数：

6、矩阵的特征多项式： 7、特征值与特征根： 8、线性变换的对角化： 9、线性变换的值域： 10、线性变换的核：

11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间：

13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式：

§1. 2 基本定理

定理7.1设L(V)是数域P上的线性空间V上的线性变换的全体构成的集合，那么

L(V)关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间；

定理7.2设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，?1,?2,?,?n是

V上任意n个向量，则存在唯一的线性变换??L(V)，使得：

?(?i)??i(i?1,2,?,n)；

定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，对任意线性变换??L(V)，令?和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是L(V)到Pn?n的一一对应，且设

?,??L(V)在这个基下的矩阵分别是A

第七章 线性变换

§1基本知识

§1. 1 基本概念 1、线性变换：

2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法：

3、线性变换在给定基下的矩阵： 4、矩阵的相似：

5、矩阵的迹与范数：

6、矩阵的特征多项式： 7、特征值与特征根： 8、线性变换的对角化： 9、线性变换的值域： 10、线性变换的核：

11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间：

13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式：

§1. 2 基本定理

定理7.1设L(V)是数域P上的线性空间V上的线性变换的全体构成的集合，那么

L(V)关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间；

定理7.2设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，?1,?2,?,?n是

V上任意n个向量，则存在唯一的线性变换??L(V)，使得：

?(?i)??i(i?1,2,?,n)；

定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，对任意线性变换??L(V)，令?和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是L(V)到Pn?n的一一对应，且设

91

?,??L(V)在这个基下的矩阵分

第七章 线性变换

一. 内容概述

1. 线性变换的概念

设Vn是n维线性空间，T是n维线性空间Vn中的变换，且满足

1） 对任意向量?,??Vn,有 T(???)?T(?)?T(?) 2） 对任意向量??Vn,k?F,有T(k?)?kT(?)

则称T为Vn中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算 1)T(0)?0，T(??)??T(?)

2) T(k1?1?k2?2???kn?n)?k1T(?1)?k2T(?2)???knT(?n)

3）设向量组?1,?2,?,?n线性相关，则向量组T(?1),T(?2),?T(?n)也线性相关。 线性变换的和：(T1?T2)(?)?T1(?)?T2(?) 线性变换的积：(T1T2)(?)?T1(T2(?)) 数乘变换：(?T)(?)??T(?) 线性变换T可逆时，逆变换T?1 都是线性变换。

线性变换的多项式：f(?)?am?m?am?1?m?1???a1??a0? 3. 线性变换的矩阵

设?是V的一个线性变换，?1,?2,?,?n是V的一个基，且

?(?1)?a11?1?a21?2???an1?n ?(?2)?a12?1?a22?2???an2?n

????

?(?n)?a1n?1?a2n?2

三维线性变换

陈祥科

1、线性空间 ..................................................................................................................................... 2

1.1、 线性空间的代数定义 .................................................................................................... 2 1.2 线性空间的基和维度 ...................................................................................................... 2 2、线性变换 ................................................................................................................................

第七章 线性空间与线性变换

第三章在向量与线性运算的基础上引入了n维向量空间的概念。本章我们把向量空间推广到更一般的情形，得到线性代数的一个基本概念——线性空间；然后介绍线性空间中的一种最基本变换——线性变换。

§1 线性空间的定义与性质

首先引入数域的概念。

定义1：设P是包含0和1的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)均在P内，则称P为一个数域。

显然有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域。

定义2：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义加法运算，即对于V中任意两个元素?与?，在V中有唯一的元素???与它们对应，称为?与?的和；且该加法运算满足：

(1) (交换律) ??????? (2) (结合律) ??(???)?(???)?? (3) (零元素) 存在元素0，对V中任一元素?，都有??0?? (1.1) (4) (负元素) 对V中每一个元素?，存在?的负元素?，使????0

在集合V的元素与数域P的数之间定义数乘运

第七章 线性空间与线性变换

第三章在向量与线性运算的基础上引入了n维向量空间的概念。本章我们把向量空间推广到更一般的情形，得到线性代数的一个基本概念——线性空间；然后介绍线性空间中的一种最基本变换——线性变换。

§1 线性空间的定义与性质

首先引入数域的概念。

定义1：设P是包含0和1的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)均在P内，则称P为一个数域。

显然有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域。

定义2：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义加法运算，即对于V中任意两个元素?与?，在V中有唯一的元素???与它们对应，称为?与?的和；且该加法运算满足：

(1) (交换律) ??????? (2) (结合律) ??(???)?(???)?? (3) (零元素) 存在元素0，对V中任一元素?，都有??0?? (1.1) (4) (负元素) 对V中每一个元素?，存在?的负元素?，使????0

在集合V的元素与数域P的数之间定义数乘运