牛顿迭代法解方程组例题

求偏导

?x1/3?y3/2?4)-1?f1(x,y)?arctan(??2?2??f2(x,y)?exp(x?y)?4

?f1(x,y)

=?x?f1(x,y) ?y1?2x331 x3+

3y22 +4 +1

=

31x221 x3+

3y22+4 +1x

?f2(x,y)?x?f2(x,y)==

?2?2exp(x?y)?2

?2?2exp(x?y)?2

?y利用二元泰勒公式得到方程组：

y??f(xk,yk)?(x?xk)fx(xk,yk)?(y?yk)fy(xk,yk)?0 ?g(x,y)?(x?x)g(x,y)?(y?y)g(x,y)?0?kxkkkykk?kk求解这个方程组：

当gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?0时

f(xk,yk)gy(xk,yk)?g(xk,yk)fy(xk,yk)??x?xk?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?? ?y?y?g(xk,yk)fx(xk,yk)?f(xk,yk)fx(xk,yk)k?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?将f g的骗到分别代入上式即可

先用matlab画图，观察函

求偏导

?x1/3?y3/2?4)-1?f1(x,y)?arctan(??2?2??f2(x,y)?exp(x?y)?4

?f1(x,y)

=?x?f1(x,y) ?y1?2x331 x3+

3y22 +4 +1

=

31x221 x3+

3y22+4 +1x

?f2(x,y)?x?f2(x,y)==

?2?2exp(x?y)?2

?2?2exp(x?y)?2

?y利用二元泰勒公式得到方程组：

y??f(xk,yk)?(x?xk)fx(xk,yk)?(y?yk)fy(xk,yk)?0 ?g(x,y)?(x?x)g(x,y)?(y?y)g(x,y)?0?kxkkkykk?kk求解这个方程组：

当gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?0时

f(xk,yk)gy(xk,yk)?g(xk,yk)fy(xk,yk)??x?xk?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?? ?y?y?g(xk,yk)fx(xk,yk)?f(xk,yk)fx(xk,yk)k?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?将f g的骗到分别代入上式即可

先用matlab画图，观察函

系部 学号 实验题目

数计系

专 业 姓 名

计算机科学与技术

日期 成绩

2010 年 12 月

实验三： 实验三：解线性方程组的迭代法

一.实验目的 1.熟练运用已学过的迭代法求解线性方程组， 包括雅克比迭代法、 迭代法和 SOR 迭代法。 G-S 2.加深对计算方法技巧，选择正确的计算方法来求解各种线性方程组。 3.培养使用电子计算机进行科学计算和解决问题的能力。 二.实验环境 VC++6.0 实验语言：c++ 三.实验内容 1.试用雅克比迭代法和高斯塞德尔迭代法求解如下的线性方程组，设置精度为 1.0e-6:

10 1 1 x1 6.2 1 10 2 x2 = 8.5 2 1 5 x 3.2 3 2. 用 w=1 及 w=1.25 的 SOR 方法求解如下的线性方程组， 设置精度为 0.5e-7(初值为(1,1,1))

4 3 0 x1 24 3 4 1 x2 = 30 0 1 4 x 24 3 四.实验公

实验一 线性方程组迭代法实验

一、

实验目的

1．掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和计算步骤；

2．能熟练地写出Jacobi迭代法的迭代格式的分量形式，并能比较它们各自的特点及误差估计；

3.理解迭代法的基本原理及特点，并掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代格式的分量形式、矩阵形式及其各自的特点；

4.掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代算法的MATLAB程序实现方法,及了解松弛因子对SOR迭代的影响；

5.用SOR迭代法求解线性方程组时，超松弛因子?的取值大小会对方程组的解造成影响，目的就是能够探索超松弛因子?怎样对解造成影响，通过这个实验我们可以了解?的大致取值范围。

二、

实验题目

1、迭代法的收敛速度

用迭代法分别对n=20，n=200解方程组Ax=b,其中

?4??????A?????????1315131513??134???...15134?15?15??15134?13?15???????11?3?5??4?13?1?34??n?n

（1）选取不同的初值x0和不同的右端向量b，给定迭代误差，用两种迭代法计算，观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；

（2）取定初值x0

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向

第6章

解线性方程组的迭代方法

6.1 迭代法的基本概念 6.2 雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法

6.3 超松弛迭代法 6.4* 共轭迭代法

上页

下页

6.1 迭代法的基本概念6.1.1 引 言 对线性方程组 Ax=b, (1.1) 其中A为非奇异矩阵, 当A为低阶稠密矩阵时, 第5章 讨论的选主元消去法是有效的. 但对于大型稀疏矩 阵方程组(A的阶数n很大 104,但零元素较多), 利 用迭代法求解是合适的. 本章将介绍迭代法的一些基本理论及雅可比 迭代法，高斯-赛德尔迭代法，超松弛迭代法，而 超松弛迭代法应用很广泛。 下面举简例，以便了解迭代法的思想.上页 下页

例1 求解方程组

8 x1 3 x2 2 x3 20, 4 x1 11 x2 x3 33, 6 x 3 x 12 x 36. 2 3 1记为Ax=b,其中

(1.2)

x1 8 3 2 30 A 4 11 1 , x x2 , b 33 . x 6 3 12 36 3 此方程组的精确解是x*=(3,2,1)T

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向

2013-2014（1）专业课程实践论文

题目：方程的加速迭代方法

一、算法理论

Aitken加速迭代算法基本原理：

对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度。但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的加速是个重要的过程。

设x0是跟x*的某个预测值，只迭代公式校正一次x1?f(x0),而由微分中值定理有：x1?x*?f?。 (t)?(x0?x*)（其中t介于x*与x0之间）

假定f'?x?改变不大，近似的取某个近似值L，则由x1?x*?L?(x0?x*)得到

x*?L?x0x1?1?L1?L,可以期望按上式右端求得

x2?x?LL??x1?x0?x1是比x1更好的近似值，将每得到一次改进?0?x1?1?L1?L1?L?和xk分别表示第K步的校正值和改进值，则加速迭代计值算做一步，并用xk算方案可表述如下：

??1?f?xk? 校正：xk??1?改进：xk?1?xk??1?xk?L??xk

1?L然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数f??x?的有关信息L，实际使用不便。

仍设已知x*的某个猜测值为x0，将校正值x1?f?x0?,再校正一次，又得

x2?f?x1?。由于x2?x*?L??x1?x*?将它

hao

第3章 解线性方程组的迭代法

清华大学工程硕士数学课程--数值分析 数值方法

§1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法

（I）迭代概念

（1） Ax b ， A Rn n， b R

A M N ， M R

n n

n

， N R

n n

，

M非奇异

Mx Nx

b

Mx Nx b

x M

1

Nx M

1

1

b

如果令 B M

1

N,f Mb，那么上式写成

（2） x Bxf 此方程组等价于Ax b

任给x

(0)

R，

(1)

n

x x

Bx

(0)

f f

(2)

Bx

(1)

（3） x

(k 1)

Bx

(k)

k(

f

(k)

)

由（3）可以确定 x

x

(k)

，当x

x R，即

*n

x

*

0 时，有

*

*

x Bx f

x同样满足 Ax b

*

*

定义 式（3） x

(k 1)

Bx

k(

f称为求解 （1）

)

Ax b 的简单形式迭代法，B称为迭代矩阵。

（II）Jacobi迭代法

hao

Ax b

写成分量形式有

n

a

j 1

ij

xj bi,

i 1,2, ,n

i 1n

ij

aiixi

a

j 1

xj

j i 1

aijxj bi,i 1,2, ,n

假定 aii 0 ，那么有 xi

1aii

i 1

n

ij

(bi

第二章 解线性代数方程组的迭代法

2.1 引 言

在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性代数方程组，它的系数矩阵数很高，但非零元素很少，人们称其为大型稀疏线性代数方程组，对于这类方程组，如果它又不具有带状性，那么，再用直接法求解就不太有效，因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状，导致了计算量的增加和存储单元的浪费，于是，人们常用迭代法求解大型稀疏线性代数方程组。迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素，这样，占用内存在单元较少，能解高阶线性代数方程组。由于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，因此，收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。那么，是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法呢？回答是否定的，这是因为不同的系数矩阵具有不同的性态，一般地，每一种迭代法都具有一定的适用范围，在本章的学习中将会看到，有时，某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组，构造合适的迭代方法。

本章主要介绍一些基本的迭代法，并在一定的范围内讨论其中几种方法的收敛法。

2.2 基本迭代法

考虑线性方程组

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