牛顿迭代法解方程组例题
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牛顿迭代法解方程组(电子科大)
求偏导
?x1/3?y3/2?4)-1?f1(x,y)?arctan(??2?2??f2(x,y)?exp(x?y)?4
?f1(x,y)
=?x?f1(x,y) ?y1?2x331 x3+
3y22 +4 +1
=
31x221 x3+
3y22+4 +1x
?f2(x,y)?x?f2(x,y)==
?2?2exp(x?y)?2
?2?2exp(x?y)?2
?y利用二元泰勒公式得到方程组:
y??f(xk,yk)?(x?xk)fx(xk,yk)?(y?yk)fy(xk,yk)?0 ?g(x,y)?(x?x)g(x,y)?(y?y)g(x,y)?0?kxkkkykk?kk求解这个方程组:
当gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?0时
f(xk,yk)gy(xk,yk)?g(xk,yk)fy(xk,yk)??x?xk?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?? ?y?y?g(xk,yk)fx(xk,yk)?f(xk,yk)fx(xk,yk)k?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?将f g的骗到分别代入上式即可
先用matlab画图,观察函
牛顿迭代法解方程组(电子科大)
求偏导
?x1/3?y3/2?4)-1?f1(x,y)?arctan(??2?2??f2(x,y)?exp(x?y)?4
?f1(x,y)
=?x?f1(x,y) ?y1?2x331 x3+
3y22 +4 +1
=
31x221 x3+
3y22+4 +1x
?f2(x,y)?x?f2(x,y)==
?2?2exp(x?y)?2
?2?2exp(x?y)?2
?y利用二元泰勒公式得到方程组:
y??f(xk,yk)?(x?xk)fx(xk,yk)?(y?yk)fy(xk,yk)?0 ?g(x,y)?(x?x)g(x,y)?(y?y)g(x,y)?0?kxkkkykk?kk求解这个方程组:
当gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?0时
f(xk,yk)gy(xk,yk)?g(xk,yk)fy(xk,yk)??x?xk?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?? ?y?y?g(xk,yk)fx(xk,yk)?f(xk,yk)fx(xk,yk)k?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?将f g的骗到分别代入上式即可
先用matlab画图,观察函
实验三:解线性方程组的迭代法
系部 学号 实验题目
数计系
专 业 姓 名
计算机科学与技术
日期 成绩
2010 年 12 月
实验三: 实验三:解线性方程组的迭代法
一.实验目的 1.熟练运用已学过的迭代法求解线性方程组, 包括雅克比迭代法、 迭代法和 SOR 迭代法。 G-S 2.加深对计算方法技巧,选择正确的计算方法来求解各种线性方程组。 3.培养使用电子计算机进行科学计算和解决问题的能力。 二.实验环境 VC++6.0 实验语言:c++ 三.实验内容 1.试用雅克比迭代法和高斯塞德尔迭代法求解如下的线性方程组,设置精度为 1.0e-6:
10 1 1 x1 6.2 1 10 2 x2 = 8.5 2 1 5 x 3.2 3 2. 用 w=1 及 w=1.25 的 SOR 方法求解如下的线性方程组, 设置精度为 0.5e-7(初值为(1,1,1))
4 3 0 x1 24 3 4 1 x2 = 30 0 1 4 x 24 3 四.实验公
实验一线性方程组迭代法实验
实验一 线性方程组迭代法实验
一、
实验目的
1.掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和计算步骤;
2.能熟练地写出Jacobi迭代法的迭代格式的分量形式,并能比较它们各自的特点及误差估计;
3.理解迭代法的基本原理及特点,并掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代格式的分量形式、矩阵形式及其各自的特点;
4.掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代算法的MATLAB程序实现方法,及了解松弛因子对SOR迭代的影响;
5.用SOR迭代法求解线性方程组时,超松弛因子?的取值大小会对方程组的解造成影响,目的就是能够探索超松弛因子?怎样对解造成影响,通过这个实验我们可以了解?的大致取值范围。
二、
实验题目
1、迭代法的收敛速度
用迭代法分别对n=20,n=200解方程组Ax=b,其中
?4??????A?????????1315131513??134???...15134?15?15??15134?13?15???????11?3?5??4?13?1?34??n?n
(1)选取不同的初值x0和不同的右端向量b,给定迭代误差,用两种迭代法计算,观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论;
(2)取定初值x0
向量和矩阵的范数_病态方程组_解线性方程组的迭代法
3.4 向量和矩阵的范数
为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性,我们需要对Rn(n维
向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量,——向量和矩阵的范 数。
向量和矩阵的范数
在一维数轴上,实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,
x2之间距离用| x1-x2 |表示。
向量和矩阵的范数
而在二维平面上,平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间,则称为向量范数。
| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2
2
向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的
x ||, 且满足 : 1)非负性: || x || 0,当且仅当x 0时, || x || 0; 2)奇次性: || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式:对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数设向
第6章 解线性方程组的迭代法
第6章
解线性方程组的迭代方法
6.1 迭代法的基本概念 6.2 雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法
6.3 超松弛迭代法 6.4* 共轭迭代法
上页
下页
6.1 迭代法的基本概念6.1.1 引 言 对线性方程组 Ax=b, (1.1) 其中A为非奇异矩阵, 当A为低阶稠密矩阵时, 第5章 讨论的选主元消去法是有效的. 但对于大型稀疏矩 阵方程组(A的阶数n很大 104,但零元素较多), 利 用迭代法求解是合适的. 本章将介绍迭代法的一些基本理论及雅可比 迭代法,高斯-赛德尔迭代法,超松弛迭代法,而 超松弛迭代法应用很广泛。 下面举简例,以便了解迭代法的思想.上页 下页
例1 求解方程组
8 x1 3 x2 2 x3 20, 4 x1 11 x2 x3 33, 6 x 3 x 12 x 36. 2 3 1记为Ax=b,其中
(1.2)
x1 8 3 2 30 A 4 11 1 , x x2 , b 33 . x 6 3 12 36 3 此方程组的精确解是x*=(3,2,1)T
向量和矩阵的范数_病态方程组_解线性方程组的迭代法
3.4 向量和矩阵的范数
为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性,我们需要对Rn(n维
向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量,——向量和矩阵的范 数。
向量和矩阵的范数
在一维数轴上,实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,
x2之间距离用| x1-x2 |表示。
向量和矩阵的范数
而在二维平面上,平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间,则称为向量范数。
| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2
2
向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的
x ||, 且满足 : 1)非负性: || x || 0,当且仅当x 0时, || x || 0; 2)奇次性: || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式:对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数设向
方程的加速迭代法
2013-2014(1)专业课程实践论文
题目:方程的加速迭代方法
一、算法理论
Aitken加速迭代算法基本原理:
对于收敛的迭代过程,只要迭代足够多次,就可以使结果达到任意的精度。但有时迭代过程收敛缓慢,从而使计算量变得很大,因此,迭代过程的加速是个重要的过程。
设x0是跟x*的某个预测值,只迭代公式校正一次x1?f(x0),而由微分中值定理有:x1?x*?f?。 (t)?(x0?x*)(其中t介于x*与x0之间)
假定f'?x?改变不大,近似的取某个近似值L,则由x1?x*?L?(x0?x*)得到
x*?L?x0x1?1?L1?L,可以期望按上式右端求得
x2?x?LL??x1?x0?x1是比x1更好的近似值,将每得到一次改进?0?x1?1?L1?L1?L?和xk分别表示第K步的校正值和改进值,则加速迭代计值算做一步,并用xk算方案可表述如下:
??1?f?xk? 校正:xk??1?改进:xk?1?xk??1?xk?L??xk
1?L然而上述加速公式有个缺点,由于其中含有倒数f??x?的有关信息L,实际使用不便。
仍设已知x*的某个猜测值为x0,将校正值x1?f?x0?,再校正一次,又得
x2?f?x1?。由于x2?x*?L??x1?x*?将它
第3章_解线性方程组的迭代法_962109547
hao
第3章 解线性方程组的迭代法
清华大学工程硕士数学课程--数值分析 数值方法
§1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法
(I)迭代概念
(1) Ax b , A Rn n, b R
A M N , M R
n n
n
, N R
n n
,
M非奇异
Mx Nx
b
Mx Nx b
x M
1
Nx M
1
1
b
如果令 B M
1
N,f Mb,那么上式写成
(2) x Bxf 此方程组等价于Ax b
任给x
(0)
R,
(1)
n
x x
Bx
(0)
f f
(2)
Bx
(1)
(3) x
(k 1)
Bx
(k)
k(
f
(k)
)
由(3)可以确定 x
x
(k)
,当x
x R,即
*n
x
*
0 时,有
*
*
x Bx f
x同样满足 Ax b
*
*
定义 式(3) x
(k 1)
Bx
k(
f称为求解 (1)
)
Ax b 的简单形式迭代法,B称为迭代矩阵。
(II)Jacobi迭代法
hao
Ax b
写成分量形式有
n
a
j 1
ij
xj bi,
i 1,2, ,n
i 1n
ij
aiixi
a
j 1
xj
j i 1
aijxj bi,i 1,2, ,n
假定 aii 0 ,那么有 xi
1aii
i 1
n
ij
(bi
第2章 解线性代数方程组的迭代法
第二章 解线性代数方程组的迭代法
2.1 引 言
在许多实际问题中,常常需要求解这样的线性代数方程组,它的系数矩阵数很高,但非零元素很少,人们称其为大型稀疏线性代数方程组,对于这类方程组,如果它又不具有带状性,那么,再用直接法求解就不太有效,因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时,没有考虑到系数矩阵的稀疏性,破坏了系数矩阵的形状,导致了计算量的增加和存储单元的浪费,于是,人们常用迭代法求解大型稀疏线性代数方程组。迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素,这样,占用内存在单元较少,能解高阶线性代数方程组。由于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解,因此,收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。那么,是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法呢?回答是否定的,这是因为不同的系数矩阵具有不同的性态,一般地,每一种迭代法都具有一定的适用范围,在本章的学习中将会看到,有时,某种方法对一类方程组迭代收敛,而对另一类方程组进行迭代时就会发散。因此,我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组,构造合适的迭代方法。
本章主要介绍一些基本的迭代法,并在一定的范围内讨论其中几种方法的收敛法。
2.2 基本迭代法
考虑线性方程组
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