三角函数与正余弦定理的综合应用

正余弦定理综合运用

作者:Fisher

一、学习目标

(1) 通过本节的学习，我们能够熟练的运用正弦定理、余弦定理解任意三角形，并会判断三 角形的形状。

（2）通过运用正余弦定理解题的过程，我们要学会分析问题的方法，并养成独立思考的学

习习惯；

（3）通过自主学习，合作交流，体验探究新知的过程，培养“我参与我快乐”的学习精神。

二、学习重点、难点：

学习重点：利用正余弦定理解斜三角形以及判断三角形形状。 学习难点：正余弦定理综合应用及运算问题。

三、学习方法：自主探究 合作交流

四、学习思路：

通过复习正弦定理、余弦定理内容，进一步理解正余弦定理，探究斜三角的解法及其形状的判断。

五、知识链接:

复习1 正弦定理是什么？我们可以利用正弦定理解决一些怎样的解三角形问题？

复习2 若?ABC的外接圆半径为R，则

abc??? R. sinAsinBsinC

复习3 余弦定理是什么？我们可以利用余弦定理解决一些怎样的解三角形问题？

复习4 角A是三角形的一个内角，若sinA?

1 ,则A?? 2

一、 应用正余弦定理解三角形

三角函数第4节正余弦函数定义与诱导公式练习题

1、下列各式不正确的是 （ ）

A． sin（α＋180°）=－sinα B．cos（－α＋β）=－cos（α－β） C． sin（－α－360°）=－sinα D．cos（－α－β）=cos（α＋β） 2、sin(-1230°)= （ ） A.0.5 B.1 C.-0.5 D.-1

（

4、sin???19?? （ ?6?的值等于 ?A． 12

B． ?12 C．

32 D.?32

5.已知sin(π+α)=45,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是

备课资料

1.2 正余弦定理应用举例

备课资料

复习、请回答下列问题：

(1)解斜三角形的主要理论依据 是什么？(2)关于解三角形，应该掌握了 哪几种类型？

备课资料

复习. 下列解三角形问题, 分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？

余弦定理先求出A,或先求出B,C (1)a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ; (2)b=1,c= 2 ,A=105º_________________________________ ;余弦定理先求出a

正弦定理先求出b (3)A=45º =60º a=10; ,B , ________________________________(4)a=2 3 ,b=6,A=30º ________________________________ o) . 正弦定理先求出B(60o或120

无解 第4小题A变更为A=150o呢？_____________________

备课资料

正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用 :(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.

包含不可达到的点

备课资料

要测量不可到达的两点

解三角形

正弦定理（一）

?1?正弦定理：

asinA?bsinB?csinC?2R，

(2)推论：正余弦定理的边角互换功能

① a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC

②sinA? ③

asinAa2R?，sinB?b?csinCb2R，sinC?c2R

=2R

sinB=

a?b?csinA?sinB?sinC ④a:b:c?sinA:sinB:sinC

典型例题:

1．在△ABC中，已知a?52,c?10,A?300，则∠B等于（ ） A．1050 B．600 C．150 D．1050或150 2．在△ABC中，已知a?

3．在△ABC中，若a:b:c?1:3:5,求解 由条件

ac?sinAsinC?152sinA?sinBsinCsinC

6,b?2,A?60，则这样的三角形有_____1____个．

0的值．

∴sinA?15同理可得sinB?

35sinC∴

2sinA?sinBsinC2?15sinC?sinC35sinC＝＝?15

练习:

一、 选择题

1．一个三角形的两内角分别为45与60，如果45角所对的边长是６，那么60角所对的边的边长为

正弦定理、余弦定理的综合应用

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸

边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB

＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为( )

A．502 m B．3 m

252C．252 m D. m 2

2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续

航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )

A．5海里 B．53海里 C．10海里 D．3海里

3．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )

A．1 B．2sin 10° C．2cos 10° D．cos 20°

4．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2 －b23bc，sin C

＝3sin B，则A等于( )

专训6 三角函数在学科内的综合应用

名师点金：

1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．

2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解．

3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．

4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数.

三角函数与一次函数的综合应用

1

1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝. 2(1)求点B的坐标和k的值；

(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．

(第1题)

[来源学科网]

三角函数与二次函数的综合应用

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴直线

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

上海市上南中学单元教学设计

上南中学单元教学设计

主题单元标题 学科领域 （在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 所需时间 三角函数与反三角函数的复习 内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 语文 美术 生物 科学 数学√ 外语 历史 社区服务 教师姓名 设计时间 符明媚 2011年9 月 28日 体育 物理 地理 社会实践 高三 10课时 主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图） 三角函数是中学数学的重要内容之一，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。 主题学习目标（描述该主题学习所要达到的主要目标） 知识与技能： 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 2．借助图

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，