极限的定义解题

谈回归定义的解题功能

沈作翔 孙伟奇

(浙江省奉化中学 315500)

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括与反映，是我们进行判断和推理的逻辑单元，它既是推导公式、定理的依据，也是解题的一把金钥匙．本文就回归定义的解题功能谈谈自己的管见．

一、辨误功能

数学中的概念反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,是数学公式、法则、定理的应用的出发点和前提，因此用定义来辩误是再自然不过的了．

例1、把红 、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是

A、对立事件 B、不可能事件 C、互斥但不对立事件 D、以上均不对 错误答案：A

剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现 在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适合用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生：而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同

谈回归定义的解题功能

沈作翔 孙伟奇

(浙江省奉化中学 315500)

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括与反映，是我们进行判断和推理的逻辑单元，它既是推导公式、定理的依据，也是解题的一把金钥匙．本文就回归定义的解题功能谈谈自己的管见．

一、辨误功能

数学中的概念反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,是数学公式、法则、定理的应用的出发点和前提，因此用定义来辩误是再自然不过的了．

例1、把红 、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是

A、对立事件 B、不可能事件 C、互斥但不对立事件 D、以上均不对 错误答案：A

剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现 在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适合用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生：而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同

目 录

引 言 ········································································································· 1 一、基本概念与基本理论 ············································································ 2 (一)函数极限 ··························································································· 2 (二)重要极限 ··························································································· 9 (三)函数的上极限与下极限 ·································································· 10 (四)Stolz定理的推广定理 ·············

福建省飞毛腿工业技术学校教案纸

学 科 机械知识 第 一 章 极限与配合 第 ２ 节 极限与配合基本术语、定义（二） 授课时数 授课时间 教学目的 和要求 教学重点 和难点 2 授课方法 讲授 授课班级 审 批 意 见 掌握有关尺寸、公差的术语及定义，学会有关尺寸及偏差计算，能绘制尺寸公差带图。 重点：尺寸、公差、偏差概念 难点：尺寸公差带图的作法 无 复 习 提 问 教 具 PPT 课外作业题习题册P2、P3 号 教 学 内 容、 方 法 和 过 程 一、组织教学 1、师生之间互致问候，记录考勤； 2、安定课堂教学秩序，准备授课。 二、教学回顾 1、尺寸、基本尺寸、实际尺寸、极限尺寸的定义及符号。 2、基本尺寸、实际尺寸、极限尺寸的关系。 三、课题引入] 从基本尺寸、实际尺寸、极限尺寸的关系我们可以看出，当用极限尺寸减基本尺寸或者用实际尺寸减基本尺寸时，两者之间会等到一个差值，这个值我们把它叫做偏差值。这就是我们这节课要讲述的内容： 四、讲授新课 （一）公差与偏差的术语及定义 附 记 清点人数，集中学生注意力2’ 交代本次课学习内容

专题九 极限与探索性问题的解题技巧

【命题趋向】

综观历届全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点： 1．数学归纳法

①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)．

②解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目

③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意． 2. 数列的极限

①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限．

②解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. ③数列与几

数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题，题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列｛an｝中，a1=2，q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n，则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+alimn，则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

三

第1页，共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题，题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列｛an｝中，a1=2，q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n，则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+alimn，则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

三

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5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

极限及几种求极限重要方法的探究

王龙科

西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃兰州 730070

摘要： 极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。 关键词： 极限；高等数学；求极限的方法

一、引言

极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。

二、极限理论 1、数列极限

定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称 f: N?→R 或 f(n),n∈N?

为数列.因为正整数集N?的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作 a1，a2，…，an…

1、爆炸反应当量浓度的计算

爆炸气体完全燃烧时，其化学理论体积分数可用来确定可燃物的爆炸下限，公式如下：

C =20.9/（0.209+n0） 爆炸下限（LEL）=0.55×C 爆炸上限（UEL）=4.8(C) ^0.5

C——爆炸性气体完全燃烧时的化学计量浓度； 0.55——常数；

20.9%——空气中氧体积分数；

n0——可燃气体完全燃烧时所需氧分子数。 例如：求丙烷的爆炸极限。 丙烷化学反应式：

一分子丙烷+五分子氧气→三分子二氧化碳+四分子水 丙烷（LEL）=0.55×C=2.21%

丙烷（UEL）=4.8(20.9/（0.209+5）)^0.5=9.62%

2、由分子中所含碳原子数估算爆炸极限 爆炸下限（LEL）=1/（0.1347n+0.04343） 爆炸上限（UEL）=1/(0.01337n+0.05151)

n——分子中所含碳原子数

3、 两种以上可燃气体组成的混合体系爆炸极限的计算 3.1、莱夏特尔定律

对于两种以上可燃气体混合体系，已知每种可燃气体的爆炸极限和所占空间体积分数，可根据莱夏特尔定律算出混合体系的爆炸极限。

（爆炸下限）LE

第三节

极限运算法则

一、极限四则运算法则定理1. 若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则

(1) lim[f (x) g(x)] = limf (x) limg(x) = A B(2) lim[f (x) g(x)] = limf (x) · limg(x) = A · B

f ( x) lim f ( x) A (3) 若B 0, 则 lim . g ( x) lim g ( x) B

推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则

(1) lim[Cf (x)] = C limf (x) (2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n

2x x 4 例1. 求 lim x 2 x 63 2

更一般的, 有结论: 若f (x)为初等函数, 且f (x)在点 x0处有定义. 则 lim f ( x ) f ( x0 )x x0

xn 1 例2. 求 lim m , 其中m, n为自然数. x 1 x 1

解: 注意到公式

x n 1 ( x 1)( x n 1 x n 2 1)有( x 1)( x n 1 1