设a是线性空间v的线性变换

第七章 线性空间与线性变换

第三章在向量与线性运算的基础上引入了n维向量空间的概念。本章我们把向量空间推广到更一般的情形，得到线性代数的一个基本概念——线性空间；然后介绍线性空间中的一种最基本变换——线性变换。

§1 线性空间的定义与性质

首先引入数域的概念。

定义1：设P是包含0和1的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)均在P内，则称P为一个数域。

显然有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域。

定义2：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义加法运算，即对于V中任意两个元素?与?，在V中有唯一的元素???与它们对应，称为?与?的和；且该加法运算满足：

(1) (交换律) ??????? (2) (结合律) ??(???)?(???)?? (3) (零元素) 存在元素0，对V中任一元素?，都有??0?? (1.1) (4) (负元素) 对V中每一个元素?，存在?的负元素?，使????0

在集合V的元素与数域P的数之间定义数乘运

第七章 线性变换

§7.1 线性映射

1．令?=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射?哪些是R3到自身的线性映射？ （1）?(?) =?+

? ，?是R3的一个固定向量．

（2）?(?) = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3) （3）?(?) =（x12 ，x22 ，x32）． （4）?(?) =（cosx1，sinx2，0）．

2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射?是线性映射的充要条件是：对于任意??V，都有?(?) = a?，这里a是F中一个定数．

3．令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A?Mn (F).对任意X?Mn (F)，定义

?(X) = AX–XA．

(i) (ii)

证明：?是Mn (F)是自身的线性映射。 证明：对于任意X，Y?Mn (F)，

?(XY) = ?(X)Y+X?(Y) ．

4．令F4表示数域F上四元列空间，取

?1?15?1???11?23???3?181????13?97?? A=?对于??F4，令?(?) = A?．求线性映射?的核和像的维数．

5．设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n．令?是V到W的一个线性映射．

第七章 线性空间与线性变换

第三章在向量与线性运算的基础上引入了n维向量空间的概念。本章我们把向量空间推广到更一般的情形，得到线性代数的一个基本概念——线性空间；然后介绍线性空间中的一种最基本变换——线性变换。

§1 线性空间的定义与性质

首先引入数域的概念。

定义1：设P是包含0和1的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)均在P内，则称P为一个数域。

显然有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域。

定义2：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义加法运算，即对于V中任意两个元素?与?，在V中有唯一的元素???与它们对应，称为?与?的和；且该加法运算满足：

(1) (交换律) ??????? (2) (结合律) ??(???)?(???)?? (3) (零元素) 存在元素0，对V中任一元素?，都有??0?? (1.1) (4) (负元素) 对V中每一个元素?，存在?的负元素?，使????0

在集合V的元素与数域P的数之间定义数乘运

线性变换及其矩阵

§1.2 线性变换及其矩阵

在讲线性空间之前我们说：“空间”是定义一些结构的能够容纳运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。由于变换的存在使得线性空间研究由静态的量的研究转化为了动态的元素之间关系的研究。那么，线性空间中的变换是如何定义的呢？它的实质又是什么呢？在本节中，我们将主要解决这一问题。

在开始定义线性变换之前，我们首先来回顾一下线性系统的定义： 线性系统的一个基本特征就是其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。叠加原理是说：若线性系统的数学描述T（T看作是信号空间上的变换）,则对任意两个输入信号x和y以及任意两个非零常数c1和c2，下述关系式满足：

部请勿

一、 线性变换

资

下面，我们给出一般线性空间上的线性变换的定义

料

T(c1x+c2y)=c1Tx+c2Ty

1. 线性变换及其性质

内

设V是数域K上的线性空间, T是V上的变换，若T满足：对

x,y∈V, k,l∈K，T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)，则称T是V上的线性变换。

那么线性变换具有什么性质呢？我们来看一下。 线性变换的性质：

(1) Tθ=T(0x+0y)=0(Tx)+0(Ty)=θ

(2) T( x)=T(( 1)x+0y)=( 1)(Tx)+0(T

第七章 线性变换

§1基本知识

§1. 1 基本概念 1、线性变换：

2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法：

3、线性变换在给定基下的矩阵： 4、矩阵的相似：

5、矩阵的迹与范数：

6、矩阵的特征多项式： 7、特征值与特征根： 8、线性变换的对角化： 9、线性变换的值域： 10、线性变换的核：

11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间：

13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式：

§1. 2 基本定理

定理7.1设L(V)是数域P上的线性空间V上的线性变换的全体构成的集合，那么

L(V)关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间；

定理7.2设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，?1,?2,?,?n是

V上任意n个向量，则存在唯一的线性变换??L(V)，使得：

?(?i)??i(i?1,2,?,n)；

定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，对任意线性变换??L(V)，令?和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是L(V)到Pn?n的一一对应，且设

?,??L(V)在这个基下的矩阵分别是A

第七章 线性变换

一. 内容概述

1. 线性变换的概念

设Vn是n维线性空间，T是n维线性空间Vn中的变换，且满足

1） 对任意向量?,??Vn,有 T(???)?T(?)?T(?) 2） 对任意向量??Vn,k?F,有T(k?)?kT(?)

则称T为Vn中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算 1)T(0)?0，T(??)??T(?)

2) T(k1?1?k2?2???kn?n)?k1T(?1)?k2T(?2)???knT(?n)

3）设向量组?1,?2,?,?n线性相关，则向量组T(?1),T(?2),?T(?n)也线性相关。 线性变换的和：(T1?T2)(?)?T1(?)?T2(?) 线性变换的积：(T1T2)(?)?T1(T2(?)) 数乘变换：(?T)(?)??T(?) 线性变换T可逆时，逆变换T?1 都是线性变换。

线性变换的多项式：f(?)?am?m?am?1?m?1???a1??a0? 3. 线性变换的矩阵

设?是V的一个线性变换，?1,?2,?,?n是V的一个基，且

?(?1)?a11?1?a21?2???an1?n ?(?2)?a12?1?a22?2???an2?n

????

?(?n)?a1n?1?a2n?2

第七章 线性变换

§1基本知识

§1. 1 基本概念 1、线性变换：

2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法：

3、线性变换在给定基下的矩阵： 4、矩阵的相似：

5、矩阵的迹与范数：

6、矩阵的特征多项式： 7、特征值与特征根： 8、线性变换的对角化： 9、线性变换的值域： 10、线性变换的核：

11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间：

13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式：

§1. 2 基本定理

定理7.1设L(V)是数域P上的线性空间V上的线性变换的全体构成的集合，那么

L(V)关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间；

定理7.2设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，?1,?2,?,?n是

V上任意n个向量，则存在唯一的线性变换??L(V)，使得：

?(?i)??i(i?1,2,?,n)；

定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，对任意线性变换??L(V)，令?和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是L(V)到Pn?n的一一对应，且设

91

?,??L(V)在这个基下的矩阵分

三维线性变换

陈祥科

1、线性空间 ..................................................................................................................................... 2

1.1、 线性空间的代数定义 .................................................................................................... 2 1.2 线性空间的基和维度 ...................................................................................................... 2 2、线性变换 ................................................................................................................................

第四章 线性变换

习题精解

1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1） 在线性空间V中，A?????,其中??V是一固定的向量； 2） 在线性空间V中，A???其中??V是一固定的向量；

22(x,x,x)?(x,x?x,x)； 12312333） 在P中，A

34） 在P中，A(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)；

35） 在P[x]中，Af(x)?f(x?1)

6） 在P[x]中，Af(x)?f(x0),其中x0?P是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A???

8） 在P中，AX=BXC其中B,C?P是两个固定的矩阵. 解 1)当??0时,是;当??0时,不是. 2)当??0时,是;当??0时,不是.

3)不是.例如当??(1,0,0),k?2时,kA(?)?(2,0,0), A(k?)?(4,0,0), A(k?)? kA(?).

4)是.因取??(x1,x2,x3),??(y1,y2,y3),有 A(???)= A(x1?y1,x2?y2,x3?y3)

=(2x1?2y1?x2?y2,x2?y2?x3?y3,x1?y1) =(

线性变换思想在中学数学中的应用

摘 要：本文首先给出了线性变换的定义以及中学数学中涉及到的几种特殊的线性变换，包括其表达式及特征等。然后介绍了这几种线性变换在中学几何中的意义, 它是普通线性变换的一个自然推广,同时研究了线性变换在几何中的应用。最后,给出了具体实例说明了利用线性变换解决中学中平面几何题的方法以及线性变换思想在中学数学中的影响。 关键词：线性变换 中学数学 几何应用

随着社会的进步和时代的发展，针对我国中学数学课程现状，制定和实施新 的课程标准势在必行。2003年颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下 简称《标准》)。由参考文献[1]、[2]、[3]、[4]可知：

《标准》规定的课程与以往的课程相比，内容上发生很大的变化，尤其在选修系列中，增加了矩阵与变换、数列与差分、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论、风险与决策、开关电路与布尔代数等内容，矩阵与变换是选修系列4.2的内容。

矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。对于中学数学教材改革来说，认真研究怎样把应用广泛的矩阵内容融入代数教材，以及如何进一步用变换的观念来处理几何教材，最终用矩阵来表示线性变换可以更有效地学习和运用这部分知识。中学数