函数模型及其应用知识点

§2.8 函数模型及其应用 基础知识要点梳理1.三种增长型函数模型的图象与性质 性 函 数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) _______ 增函数 y=xn (n>0) ________ 增函数

自主学习

质 在(0,+∞)上 ________ 增函数 的增减性

增长速度

越来越快 越来越慢 相对平稳 ________ ________

随x增大逐渐 随x增大逐 随n值变 表现为与 渐表现为与 化而不同 图象的变化 x轴 ______平行 ______平行 y轴2.三种增长型函数之间增长速度的比较

(1)指数函数y=ax (a>1)与幂函数y=xn (n>0)在区间(0,+∞),无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内ax会小于xn,但由于y=ax的增长速度_____y=xn 快于 的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有_______. ax>xn

(2)对数函数y=logax (a>1)与幂函数y=xn (n>0)

对数函数y=logax (a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会______y=xn的增长速度,因而在定义域 慢于 logax

函数模型及其应用（2）

教学目标：让学生体会函数拟合的意义，会用信息进行数据处理。 教学重点：根据已知条件建立函数关系式。 教学过程：

一、问题情境：

假如你有一笔资金用于投资，投资时间10个月，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案1 每月回报300元；

方案2 第一月回报100元，以后每月比前一有多回报50元。 方案3 第一月回报5元，以后每月的回报比前一月翻一番。 如果不计利息，你会选择哪种投资方案？

二、生活动与数学应用

【例1】芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场。某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：

时间/t 种植成本/Q 50 150 2 110 108 t 250 150 （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at+bt+c，Q=a·b，Q=alogbt； （2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数及最低种植成本。

函数模型及其应用（2）

教学目标：让学生体会函数拟合的意义，会用信息进行数据处理。 教学重点：根据已知条件建立函数关系式。 教学过程：

一、问题情境：

假如你有一笔资金用于投资，投资时间10个月，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案1 每月回报300元；

方案2 第一月回报100元，以后每月比前一有多回报50元。 方案3 第一月回报5元，以后每月的回报比前一月翻一番。 如果不计利息，你会选择哪种投资方案？

二、生活动与数学应用

【例1】芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场。某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：

时间/t 种植成本/Q 50 150 2 110 108 t 250 150 （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at+bt+c，Q=a·b，Q=alogbt； （2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数及最低种植成本。

第二章 第十节 函数模型及其应用

题组一 一次函数与分段函数模型 1.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地， B地 停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时t(小时)的 函数表达式是 ( ) A.x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)

?60t,0≤t≤2.5?B.x＝?150,2.5

?150?50t,3.5

?60t,0≤t≤2.5

?150?50t,t>3.5?60t,0≤t≤2.5?D.x＝?150,2.5

?150?50(t?3.5),3.5

2.某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款.某人计划购买4副球拍，羽毛球30只，两种优惠方法中，更省钱的一种是 ( ) A.不能确定 B.①②同样省钱 C.②省钱 D.①省钱

解析：①种方法需20×4＋5×(30－4)＝

一次函数模型【例1】 某商人购货，进价已按原价a元扣去25%, 他希望对货物订一个新价，以便按新价 让利20%后仍可获得售价25%的纯利，求 此商人经营这种货物的件数x与按新价让 利总额y之间的函数关系式.

【解析】设新价为b元，则售价为b(1-20%)元. 因为原价为a元，所以进价为a(1-25%)元. 依题意得b(1-20%)-a(1-25%) =b(1-20%) 25%, 5 a 化简得b= a,故y=20%bx= x( x N* ). 4 4

本题关键是要理清原价、进价、 新价之间的关系，为此，引进了参 数b,建立新价与原价的关系，从 而找出了y与x的函数关系.

【变式练习1】 电信局为了配合客户的不同需要，设有方 案A、B两种优惠方案，这两种方案的应付 电话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的关 系 如 图 所 示 ， 折 线 PMN 为 方 案 A , 折 线 CDE为方案B,MN∥DE.

(1)若通话时间为x=2小时，按方案 A、B各付话费多少元？ (2)方案B从500分钟以后，每分钟收 费多少元？ (3)当方案B比方案A优惠时，求x的 取值范围.

【解析】1 方案A:M 60,98 ,N 500, 230 .

函数模型及其应用备考策略

主标题：函数模型及其应用备考策略

副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：函数模型，分段函数，二次函数，备考策略

难度：4

重要程度：5

内容

考点一利用图象刻画实际问题

【例1】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()．

解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线段，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.

答案 C

【备考策略】抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．

考点二二次函数模型

【例2】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．

(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；

(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得

最大收益，其最大收益是多少万元

导数及其应用知识点

1.平均变化率 把f(x2) f(x1)称为函数y f(x)从x1到x2的平均变化率. x2 x1

习惯上用 x表示x2 x1，即

x x2 x1，

可把 x看作是相对于x1的一个增量，可以用x1 x代替x2；类似地，

y f(x2) f(x1).于是，平均变化率可以表示为

2.导数的定义 y. x

一般地，函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是

f(x0 x) f(x0) y lim， x 0 x x 0 xlim

我们称它为函数y f(x)在x x0处的导数，记作f (x0)或y |x x0，即

f (x0) limf(x0 x) f(x0) y lim. x 0 x x 0 x

能根据导数的定义，求函数y c,y x,y x3,y x2,y 1.(课标和10考纲) ,y3.导数的几何意义

函数y f(x)在x x0处的导数f (x0)就是曲线y f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k0，即

k0 f (x0)

4.导函数

从求函数f(x)在x x0处导数的过程可以看到，当x x0时，f (x0)是一个确定的数.这样，当x变化时，f (x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y f(x)的导

1.6三角函数模型的简单应用

教学目的

【知识与技能】

1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.

2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】

一、练习讲解：《习案》作业十三的第3、4题

3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平g??衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s?3sin?（1）求小球?t??,t?[0,??)，

?l?6??摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？

2

解：（1）???4、略（学生看书）二、应用举例：

g2??T??2?l?l1,f?g2?gg；（2）若T?1，即l??24.8cm.24?l例1如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(?x＋?)＋b(1) 求这一天6~14时的最大温差；(2) 写出这段曲线的函数解析式.

T /oC302010O68101214t /h本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温

第三部分 常见无机物及其应用

一、知识整理

1．常见金属元素的位置和物理通性

(1)元素在周期表中的位置 (2)金属材料的物理通性

常用的金属材料主要有金属和合金两类，它们具有如下的物理通性：①金属具有金属光泽；②金属具有导电性；③金属具有导热性；④金属具有良好的延展性。 2．比较金属性强弱的方法

元素金属性的本质是指元素的原子失电子能力。它取决于金属的原子半径、核电荷数、最外层电子数等因素。可以从以下几个方面来比较元素金属性强弱：

(1)根据金属的原子结构； (2)根据元素在周期表中的位置；

(3)根据最高价氧化物对应水化物的碱性强弱； (4)根据与氧气反应的难易； (5)根据与水反应的条件难易；(6)根据与非氧化性酸反应的剧烈情况；

(7)根据金属间发生的置换； (8)根据原电池反应，做负极的金属比做正极的金属活泼。 3．金属活动性顺序的应用。

金属活动性顺序 金属原子失去电子能力 金属阳离子得电子能力 K Ca Na Mg Al Zn Fe Sn Pb (H) Cu Hg Ag Pt Au 强-----------------------------------------------

几类不同增长的函数模型

【学习目标】

1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．

2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】

要点一：几类函数模型的增长差异

一般地，对于指数函数(1)x yaa??和幂函数(0)yx????，通过探索可以发现，在区间??0,??上，无论?比a大多少，尽管在x的一定范围内，x a会小于x?，但由于x a的增长快于x?的增长，因此总存在一个0x，当0xx?时，就会有x a?x?．同样地，对于对数函数log a yx?增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x 的一定范围内，log a x可能会大于x?，但由于log a x的增长慢于x?的增长，因此总存在一个0x，当0xx?时，就会有log a xx??．

综上所述，在区间??0,??上，尽管函数(1)x yaa??、(0)yx????和log(1)a yxa??都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随