平面向量试题及答案

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向量

1、在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点,则（ ）

???????1??????????????????????????A、AB与AC共线 B、DE与CB共线C、ADsin?与AE相等 D、AD与BD相等

2、下列命题正确的是（ ）

????????A、向量AB与BA是两平行向量

????aaB、若、b都是单位向量,则=b

????????C、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形

D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ）

????????????(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件；(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件；????????????(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件；(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条

件A、(1)(3) B、(2)(4) C、(3)(4) D、(1)(3)(4)

4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向

第四节

平面向量及其加减法

22.7 平面向量上海市民办文绮中学 杨卓远

试一试：

在上新课之前，

谈谈你对向量的了解！ 越多越好哟！

课题引入如图，从点A向东走5米到达点B,与从点A向

北走5米到达点C,两者有什么区别？再看从点A向东走5米到达点B,与从点A向西 走5米到达点D,两者又有什么区别？C

5米 5米D

5米AB

向量的定义由以上的讨论可以看出，世界上确实存在着“既有大小、又有方向的量” . 表明我们有必 要对这种量进行学习和研究.

既有大小、又有方向的量叫做向量(vector) .C

5米 5米D

5米AB

向量的表示方法 图中向量可表示为：有向线段 AB ,其中 A为始点，B为终点.B

AB的大小，称为向量的模，记作 AB ;

始点 A和终点 B间的距离表示向量

A

自始点 A指向终点 B的方向表示向量的方向.

比较：线段 AB与线段 BA一样吗？向量 AB 与向量 BA一样吗？

向量的表示方法向量还可以用小写的粗体英文字母表示，如 a、b、c、…;手写时，在字母上方加箭头，

如 a 、b 、c 、…(见下图),它们的模分别 b c 记作 a 、 、 、… .

a

b

c

练习：如图，

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平面向量的练习题及答案

典例精析

题型一 向量的有关概念

下列命题： ①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.

其中真命题的序号是.

①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.

正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 下列各式： ①|a|＝a?a；

② ?c＝a? ； ③OA－OB＝BA；

④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；

⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥. 其中正确的个数为

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从平面向量到空间向量学案

第一节 ：从平面向量到空间向量

设计人：陈维江 审核人：席静

上课时间： 班级： 姓名：

学习目标：1、理解空间向量的概念；

2、掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；

3、掌握两个空间向量的夹角、空间向量的方向向量和平面的法向量的概念。

学习重点：理解两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念 学习难点：理解共面向量的概念

新课学习：

看课本25-26页回答下列问题：

从平面向量到空间向量学案

做27页练习 总结：本节概念较多，多看课本，理解概念是关键。 课后作业：

专题9 平面向量及应用

★★★自我提升

????1．如图1所示，D是?ABC的边AB上的中点，则向量CD?（ ）

??2．已知向量a?(3,1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a?b?3，则b?（）

3113133） C．（,） D．（1,0） ,） B．（,222244??3. ?ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p?(a?c,b),

????q?(b?a,c?a),若p//q,则角C的大小为（ ） ???2?A. B. C. D. 6323???????24．已知|a|?2|b?|0,且关于x的方程x?|a|x?a?b?0有实根,则a与b的夹角的取值范围是

A．（( )

????1????????1????????1????????1????A.?BC?BA B. ?BC?BA C. BC?BA D. BC?BA

222???2???2??] D.[,?] ] B.[,?] C.[,63336115．若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab?0)共线，则?的值等于___

平面向量经典例题：

1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于()

A．－2B．－1

3

C．－1 D．－2

3

[答案] C

[解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.

2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝()

A．－1 B．－ 3

C．－3 D．1

[答案] C

[解析]a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，

∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k＝－3.

(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为()

A．－6

11B．－

11

6

C.6

11 D.

11

6

[答案] C

[解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，

∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11.

3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为()

A．150°B．120&#

平面向量数量积的 物理背景及其含义

教学目标：掌握平面向量数量积的概念， 掌握平面向量数量积的概念，能用它来 表示向量的模及向量的夹角

教学重点：平面向量数量积的运算律， 平面向量数量积的运算律，用它来表示向量的模及向量的夹角

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解， 平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用

如图所示：物体在力F的作用下由A移动到B 问力F 如图所示：物体在力F的作用下由A移动到B,问力F 所作的功？ 所作的功？ F θ S A B F

力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、 力与位移夹角的余弦这三者的乘积。

W= F S cosθ

已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos θ叫做 a b a b a与b的数量积，记作a ·b ,即 b a b a ·b= |a||b|cos θ b a b 其中θ是a与b的夹角， |a|cos θ( |b|cos θ )叫 a b a b 做向量a在b方向上( b 在 a方向上 )的投影。 a b ( A a O A1 b 几何意义：数量积a ·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 a b a a b a 投影|b|cos θ的乘积

一、选择题 1.若向量a=（3，2），b=（0，－1），则向量2b－a的坐标是（ ）

A.（3，－4） B.（－3，4） C.（3，4） D.（－3，－4）

2.设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA?OB等于（ ）

A.

3 4 B.－

3 4 C.3 D.－3

3.若向量a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2），则c等于（ ） A.－

331311a+b B.a－b C. a－b 222222D.－

31a+b 224.设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直 ④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 5.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）·a=_____.

10.若非零向量α、β满足|α+β|=|α－β|，则α与β所成角的大小为_____.

11.已知向量OA=（－1，2），OB=（3，m），若OA⊥AB，则m= . 6.设a=（m+1）i－3j，b=i+（m－1）j，（a+b）⊥（a－b），则m=_____. 7.已知a+b=2i－8j，a－b=－8i+16j，那么a·b=_____.

8、已知ABA．2

9、若平面向量与向量

A．

专题复习：平面向量

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

??a2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母、b等表示；③平面向量的坐标表示：分

???yjaix别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基

????xiy?yj，(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，本定理知，有且只有一对实数x、，使得a?yya记作?(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，叫做a在轴上的坐标， 特别地，

????22ai?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)。?x?y；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

AB??x2?x1,y2?y1?，

AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，

a叫单位向量.（注：|a|就是单位向量）

??a04.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.向量、?????b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

6.向量的加法、减法：

①求

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节 平面向量的基本概念与线性运算

考纲要求：

1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表

示；

2. 掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义；

3. 掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 4. 了解向量线性运算的性质及其几何意义。

考点梳理：

1．向量的有关概念 (1)向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或模)． (2)零向量：________的向量，其方向是任意的． 3)单位向量：长度等于__________的向量．

(4) 平行向量：方向________的非零向量．平行向量又叫________． 规定：0 与任一向量平行．

(5)相等向量：长度________的向量． (6)相反向量：长度________的向量． 2．向量的加法和减法

(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则． 运算性质：a＋b＝________；(a＋b)＋c＝________.(2)减法与________互为逆运算；服从三角形法则． 3．实数与向量的积

(1)实数λ与向量 a 的积是一个