三角函数实际应用题

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三角函数的应用题

第一阶梯

[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB的长。

1[例2]如图，△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，且AD=DC，若tg∠DAC=4,求tg∠BAD。

[例3]如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。

第二阶梯

[例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米后到D处，又测得A的

仰角为45°，求塔高AB。

第三阶梯

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[例1]已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。

[例2]有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且∠DFC=2θ，∠ECB=θ，

求折痕CE长。

[例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，

又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小

三角函数在实际生活中的应用（一） 江苏省仪征中学 吕飞 一．课前热身：

1.（必修4 习题1.3第12题改编）如图，摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高度为60 m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.

则在时刻t（min）时点P距离地面的高度h(t)=__________

C 2.（必修4 习题3.2链接改编）已知矩形ABCD所在平面与地面垂直，A在地面上，AB=3,BC=1,AB与地面成θ角( 0????2)，若记点

B D C到地面的距离为h,试用θ的函数表示h,则h=____________________ θ A

3.（必修4 第107页例5改编）如图，在半径为1m的半圆形钢板上截取一块矩形材料，这个矩形的面积最大值为_______

二．典型例题

例题1（必修4第115页复习题第14题）

如图，在半径为R、圆心角为60的扇形OAB上截取一块它的内接矩形材料, 为了得到面积最大的矩形材料请问该如何截取并请画出示意图，求出最大

学生姓名 授课日期

广州卓越一对一初中数学教研部

编著

课题 教学目标 教学重点 教学难点

锐角三角函数的实际应用1、 进一步掌握锐角三角函数的定义； 2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题

第一部分：知识点回顾1.边与边关系：a2+b2=c2 2.角与角关系：∠A+∠B=90° a b a b 3.边与角关系，sinA= ,cosA= ,tanA= ,cota= c c b a 4.仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰 角，从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角。右图中的∠1 就是仰角，∠2 就是俯角。 坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比), AC 读作 i,即 i= ,坡度通常用 1:m 的形式(注意:坡度一定要写出 1:几的形 BC 式),例如上图的 1:2 的形式。 坡面与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道， 坡度与坡角的关系是 i=tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

第二部分：自我评测知识点 特殊三角函数的值 坡度计算 三角函数的实际应用 掌握情况 非常好 一般 有

锐角三角函数

如图，在 三角形ABC中，∠C=90°.设∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c.

∠B的正切 = ∠B又叫做坡角，

∠B的 SinB =

∠B的

一、特殊角三角函数.

已知∠C=90°，∠A=30°，AB=10，求AC、BC. 解：∵∠C=90°，∠A=30°

∴BC=AB·sinA ·

A

C

已知∠C=90°，∠B=60°，AB=10，求AC、BC. 解：∵∠C=90°，∠B=60° ∴AC=AB· ·

A

=

AC = AB· =10·

=

BC = ·B =10·

=

已知∠C=90°，∠A=30°，BC=10，求AC、AB. 解：∵∠C=90°，∠A=30°

∴tanA =

A

=

已知∠C=90°，∠B=60°，BC=10，求AC、AB. 解：∵∠C=90°，∠B=60°

∴tanB

第三章 三角函数在实际生活中的应用

三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗

1. (2008 安徽省芜湖市) 在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ,小丽同学在点A 处,测得条幅顶端D 的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后, 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°,已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D 点距离地面的高度.(计算结果精确到0.1米, 参考数据

:2 1.414,3 1.732≈≈.)

2. (2008 湖北省荆门市) 如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米）

（已知sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°

≈0.18， sin15°≈0.26， cos15°≈0.97， tan15°≈0.27．）

3. (2008 四川省成都市) 如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上，测量湖中两个小岛C D ，间的距离．从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60o ，测得湖中小岛D 的俯角为45o ．已知小山AB 的高为180米，求小岛C D

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

辅助角公式应用20170313

基础知识：化asin? 解: asin?+bcos?=?bcos?为一个角的一个三角函数的形式. a2?b2(aa?b222sin?+ba?b22cos?),

① 令aa?b22=cos?,

ba?b2=sin?,

② 顺序：要使正弦在前，余弦在后；系数：分析好a、b，正弦系数为a、余弦系数为b。 例题：例１、试将以下各式化为Asin(???)?A?0?的形式. （1）31sin??cos?（2）sin??cos?（3）2sin??6cos? （4）3sin??4cos? 22

例2、试将以下各式化为Asin(???)（A?0,??[??,?)）的形式. （1）sin??cos? （2）cos??sin? （3）?3sin??cos? 例3、若sin(x?50?)?cos(x?20?)?3，且0??x?360?，求角x的值。 例4、若3sin(x?4、课堂练习

??????(1)、3sin?????3cos???? =________________（化为Asin(???)?A?0?的形式）

66?????12)?cos(x??12)?2?，且 ??x?0，求sinx?cosx的值。

23(2)