二阶线性微分方程解的结构

习题5.4(P306)

1. 用观察法求下列方程的一个特解.

(1) (x+1)y′′ 2xy′+2y=0

解：由于方程中y及y′的系数有关系：p(x)+xq(x)=0，故y=x为上述方程的一个特解.

(2) xy′′ (1+x)y′+y=0

解：由于方程中y及其各阶导数的系数之和为零，故y=e为上述方程的一个特解.

2. 用常数变易法求方程y′′+y=tanx的通解.

解：方程所对应的齐次方程的特征方程为r+1=0，特征根为r1,2=±i， 故方程所对应的齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx

设非齐次方程的特解为y0=C1(x)cosx+C2(x)sinx， 22x

′=C1′(x)cosx C1(x)sinx+C2′(x)sinx+C2(x)cosx 则y0

′(x)sinx=0′(x)cosx+C2令C1(1)

′= C1(x)sinx+C2(x)cosx 故y0

′′= C1′(x)sinx C1(x)cosx+C2′(x)cosx C2(x)sinx y0

′(x)sinx+C2′(x)cosx=tanx代入原方程得 C1(2)

sin2x′(x)= ′(x)=sinx， 联立(1)(2)解得C1，C2cosx

sin2x解得C1(x)=∫

Some Properties of Solutions of Periodic Second Order

Linear Differential Equations

1. Introduction and main results

In this paper, we shall assume that the reader is familiar with the fundamental results and the stardard notations of the Nevanlinna's value distribution theory of meromorphic functions [12, 14,

(f)and (f)to denote respectively the order 16]. In addition, we will use the notation (f)，

of growth, the lower order of growth and the exponent of convergence of the zeros of a meromorphic function f， e(f)（[see 8]），the

习题5.4(P306)

1. 用观察法求下列方程的一个特解.

(1) (x+1)y′′ 2xy′+2y=0

解：由于方程中y及y′的系数有关系：p(x)+xq(x)=0，故y=x为上述方程的一个特解.

(2) xy′′ (1+x)y′+y=0

解：由于方程中y及其各阶导数的系数之和为零，故y=e为上述方程的一个特解.

2. 用常数变易法求方程y′′+y=tanx的通解.

解：方程所对应的齐次方程的特征方程为r+1=0，特征根为r1,2=±i， 故方程所对应的齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx

设非齐次方程的特解为y0=C1(x)cosx+C2(x)sinx， 22x

′=C1′(x)cosx C1(x)sinx+C2′(x)sinx+C2(x)cosx 则y0

′(x)sinx=0′(x)cosx+C2令C1(1)

′= C1(x)sinx+C2(x)cosx 故y0

′′= C1′(x)sinx C1(x)cosx+C2′(x)cosx C2(x)sinx y0

′(x)sinx+C2′(x)cosx=tanx代入原方程得 C1(2)

sin2x′(x)= ′(x)=sinx， 联立(1)(2)解得C1，C2cosx

sin2x解得C1(x)=∫

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法

一 公式解法

目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:

y''?ay'?by?f(x)通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。

设二阶常系数线性非齐次方程为

y''?ay'?by?f(x) (1) 这里a、b都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程

k2?ak?b?0 (2)

对特征方程的根分三种情况来讨论。

1 若特征方程有两个相异实根k1、k2。则方程(1) 可以写成 y''?(k1?k2)y'?k1k2y?f(x)

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型

good

第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程

x x

f(x) [P(x)cos x Q(x)sin x]ef(x) P(x)emmm教学目的：掌握自由项为和的二

阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法

教学重点：二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法 教学难点：二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法 教学内容：

二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为：

y py qy f(x)

根据二阶线性微分方程解的结构，要求解二阶常系数非齐次线性微分方程，只需先求得

对应齐次线性微分方程的通解和该非齐次线性微分方程的一个特解即可。而齐次线性微分方程的通解已在上一目得到解决，因此本节将解决非齐次线性微分方程的特解问题。为此，针对自由项的特点，采用如下待定系数法：

根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，要求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，

**yy Y就是非齐次方程的通Y只需先求得非齐次方程的特解和对应齐次方程的通解，则

解。而用待定系数法求二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)的特解分两种

情形讨论：

一、f(x) e xPm(x)型

这里 是常数,Pm(x)是m次多项式.

由于指数函数与多项式之积的导数仍是同类型的函数,而现在微分方程右端

二阶及高阶可降阶微分方程的求解与应用

摘要：根据自己的理解对几类可降阶的微分方程的解题技巧做了一

些总结归纳，并且将这些技巧在应用中得到体现。

关键词：微分方程 可降阶 应用

前言：通过参考大量论文后可以很清楚地发现，高阶微分方程的求

解没有统一的方法，并且几乎所有的论文在介绍高阶微分方程解题方法时均试图用二阶微分方程的求解来类推到高阶方程的求解中.归纳后即根据二阶齐次线性微分方程解的结构总结出求此方程通解的一种方法，再解出非齐次线性微分方程的一个特解就可以得到非齐次微分方程的通解。本篇文章主要是对一些比较特殊而实际应用很强的二阶常系数线性非齐次方程进行研究，从而推导出具有特殊性质的高阶微分方程的解法，用于解决在实际过程中会碰到的问题。

一、三类可降阶的二阶及高阶微分方程

可降阶方程作为一类具有特殊性质的二阶方程，具、有固定的解题模式，经过听取老师上课以及自己课后的整理，总结出三种可降阶类型。

1、形如：y''?f(x) 的方程

个人觉得这种类型方程是所有可降阶方程中最简单的一类，因此最先讨论。 方法：只需令

p?y'?，则p'?y''?积分可得p??f(x)dx?C1，

也就得到了y'??f(x)dx?C1，

浙江省精品课程--高等数学AⅠ教案（同济六版）2013----------宁波工程学院

补讲2 常数变易法、可降阶方程

1、主要教学目标

1、一阶线性微分方程的标准形式及其解法；

2、三种可降阶微分方程的解法；

2、重点内容

1、一阶线性微分方程的解法及解的结构； 2、常数变易法；

3、三种可降阶微分方程的解法。 3、难点分析

1、用变量代换将伯努利方程转化为线性方程并求解； 2、常数变易法、用变量代换法求解微分方程。 4、对教材的处理及其教学提示

微分方程求解重在掌握思想方法，积分运算不宜过难，淡化伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法

5、作业布置P315-1（1）； 2（1）；3； P323-1（1、5、7）；4

一、线性方程

?P(x)dx. 1、通解公式 y?Ce?2、非齐次线性方程的解法----常数变易法

实质: 未知函数的变量代换。新未知函数u(x)?原未知函数y(x),

?P(x)dx?P(x)dxP(x)dx?u(x)[?P(x)]e?, 作变换y?u(x)e?，求导 y??u?(x)e??P(x)dxP(x)dx?Q(x),积分得 u(x)??Q(x)e?将y和y?代入原方程得u?(x)e?dx?C,

3、

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

《微分方程数值解法》期中作业实验报告

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

姓名： 学号： 班级：

2013年11月19

日

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

摘要

对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题，课本上已经给出了相应的差分方程。而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式，以及对系数进行赋值。解决完这个问题之后，我在利用matlab解线性方程组时，又出现“out of memory”的问题。因为99*99阶的矩阵太大，超出了分配给matlab的使用内存。退而求其次，当n=10，h=1/10或n=70，h=1/70时，我都得出了很好的计算结果。然而在解线性方程组时，无论是LU分解法或高斯消去法，还是gauseidel迭代法，都能达到很高的精度。

关键字：二阶椭圆偏微分方程差分方程out of memory LU分解高斯消去法gauseidel迭代法

一、题目重述

解微分方程：

(eyux(x,y))x (exuy(x,y))y (x y)ux(x,y) (x y)uy(x,y) u(x,y) ye xe e y x 1 e