数列错位相减高考经典例题

数列--错位相减法

1.已知正项等差数列 an 的前n项和为Sn，若S3 12，且2a1,a2,a3 1成等比数列.

（Ⅰ）求 an 的通项公式； （Ⅱ）记bn

2.在数列{an}中，已知a1

an

的前n项和为Tn，求Tn. 3n

1an 11, ，bn 2 3log1an(n N*). 4an44

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：数列{bn}是等差数列；

（3）设数列{cn}满足cn an bn，求 cn 的前n项和Sn.

3．已知数列 bn 前n项和Sn

321

n n.数列 an 满足an 4 (bn 2)(n N )，数列22

cn 满足cn anbn。

（1）求数列 an 和数列 bn 的通项公式； （2）求数列 cn 的前n项和Tn；

4. 设Sn为数列an 的前n项和，对任意的n N，都有Sn m 1 man(m为常数，

*

且m 0)．

（1）求证：数列an 是等比数列；

（2）设数列an 的公比q f m ，数列 bn 满足b1 2a1,bn f bn 1 (n 2，n N)，

*

求数列 bn 的通项公式；

2n 1

（3）在满足（2）的条件下，求数列 的前n项和Tn．

bn

1. 解：（Ⅰ）∵S3 12，即a1 a2 a

数列--错位相减法

1.已知正项等差数列 an 的前n项和为Sn，若S3 12，且2a1,a2,a3 1成等比数列.

（Ⅰ）求 an 的通项公式； （Ⅱ）记bn

2.在数列{an}中，已知a1

an

的前n项和为Tn，求Tn. 3n

1an 11, ，bn 2 3log1an(n N*). 4an44

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：数列{bn}是等差数列；

（3）设数列{cn}满足cn an bn，求 cn 的前n项和Sn.

3．已知数列 bn 前n项和Sn

321

n n.数列 an 满足an 4 (bn 2)(n N )，数列22

cn 满足cn anbn。

（1）求数列 an 和数列 bn 的通项公式； （2）求数列 cn 的前n项和Tn；

4. 设Sn为数列an 的前n项和，对任意的n N，都有Sn m 1 man(m为常数，

*

且m 0)．

（1）求证：数列an 是等比数列；

（2）设数列an 的公比q f m ，数列 bn 满足b1 2a1,bn f bn 1 (n 2，n N)，

*

求数列 bn 的通项公式；

2n 1

（3）在满足（2）的条件下，求数列 的前n项和Tn．

bn

1. 解：（Ⅰ）∵S3 12，即a1 a2 a

错位相减练习题答案

1.已知等差数列的前n项和为，且满足，．

Ⅰ求数列的通项公式；

Ⅱ若，求数列的前n项和．

【答案】解：Ⅰ由题意得：，解得，

故的通项公式为；

Ⅱ由Ⅰ得：，

，

，

得：．

故．

【解析】Ⅰ由，可得关于首项和公差d的方程组，解方程组求出首项和公差，即可得出数列的通项公式；

Ⅱ利用错位相减法即可求数列的前n项和Tn．

2.已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．

求数列的通项公式；

设，求数列的前n项和．

【答案】解：设等差数列的公差为d，

因为，，成等比数列，

所以，即，

化简得，

又，

所以，

从而．

因为，

所以，

所以，

以上两个等式相减得，

化简得．

【解析】本题主要考查等差数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列的和．

利用等差数列的通项公式表示出相应的项，待定系数法设出公差，根据成等比数列列出关于公差的方程，通过求解该方程求出公差，进而写出该数列的通项公式；

根据数列的通项公式写出数列的通项公式，根据错位相减法求出其前n项和．

3.已知等比数列的前n项和为，且，的等差中项为10．

求数列的通项公式；

若，求数列的前n项和．

【答案】解：的等差中项为10，，

，，，，

数列的通项公式．

，，

，

，

相减得，，

．

【解析】由已知，，计算q，进而，即可求得数列的通项公式；

利用错位相减法求和．

数列综合练习（一）

1．等比数列前n项和公式：

a?1－q?a1－anq??1＝ ?q≠1?

1－q(1)公式：Sn＝?1－q.

??na1 ?q＝1?

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．

a12．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中

1－q

a1A＝.

q－1

3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．

4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：

111(1)＝－； n?n＋1?nn＋1

n

一、选择题

S51．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )

S2

A．11 B．5 C．－8 D．－11 答案 D

解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，

5

S5a1?1＋2?

∴q＝－2，则＝＝－11.

S2a1?1－22?

S102．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )

S5

A．－3 B．5 C．

浙江高考数列经典例题汇总

1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列

?an?和?bn?满足

32a1a2?an?(Ⅰ)求

?2??n?N?.若?a?为等比数列，且a?2,b?6?b.

bn?n1an与bn；

cn?11?n?N??c?Sanbn。记数列n的前n项和为n.

??(Ⅱ)设（i）求

Sn；

?（ii）求正整数k，使得对任意n?N，均有

Sk?Sn．

2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列

{an}的首项a1?a

111Saaa(a?R),设数列的前n项和为n，且1，2，4成等比数列

（Ⅰ）求数列

{an}的通项公式及Sn

1111B?1?1?1?...?1An????...?na1a2a22a2nS1S2S3Sn，

（Ⅱ）记，当n?2时，试比较

An与Bn的大小.

3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列

?an?，an?0，a1?0，

22?an?a?1?a(n?N)．Sn?a1?a2???an?1n?1nTn?111????1?a1(1?a1)(1?a2)(1?a1)(1?a2)?(1?an)．

求证：当n?N时， （Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

4. 【2007年.浙江

数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

n?1{a}a?1,a?3?an?1(n?2). n1n例题1. 已知数列满足

（1）求a2,a3；

3n?1an?2. （2）证明：

2解：（1）?a1?1,?a2?3?1?4,a3?3?4?13.

n?1a?a?3nn?1（2）证明：由已知，故an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)

?a1?3

n?1?3n?23n?13n?1???3?1?an?2， 所以证得2.

例题2. 数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1) （Ⅰ）求?an?的通项公式；

a?1,22b3,a3?b（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b成等比数列，求Tn.

解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1(n?2)， 两式相减得：an?1?an?2an,an?1?3an(n?2)，

又a2?2S1?1?3∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3的等比数列 ∴an?3n?1

（Ⅱ）设?bn?的公比为d，由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?

数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

n?1{a}a?1,a?3?an?1(n?2). n1n例题1. 已知数列满足

（1）求a2,a3；

3n?1an?2. （2）证明：

2解：（1）?a1?1,?a2?3?1?4,a3?3?4?13.

n?1a?a?3nn?1（2）证明：由已知，故an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)

?a1?3

n?1?3n?23n?13n?1???3?1?an?2， 所以证得2.

例题2. 数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1) （Ⅰ）求?an?的通项公式；

a?1,22b3,a3?b（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b成等比数列，求Tn.

解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1(n?2)， 两式相减得：an?1?an?2an,an?1?3an(n?2)，

又a2?2S1?1?3∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3的等比数列 ∴an?3n?1

（Ⅱ）设?bn?的公比为d，由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?

该论文关于教育,经融,证券,理工,建筑,道路,桥梁,公路,机械。经人工挑选。适合大学毕业生论文写作。

浅谈上证指数的错位相关

性

李黎明1叶清贫2刘海涛3李素红4

摘要通过构造上证180指数、上证50指数与上证指数十日均线模型对其进行错位相关性研究得出三者之间具有高度的错位相关性；从指数十日均线的走势来看上证50指数要比上证180指数提前而上证180指数要比上证指数提前错位后指数回归方程的拟合性也很好

关键词上证指数十日均线模型错位相关

1引言

对市场有效性的讨论进行了近半个世纪其中支持市场无效观点的学者近期把对股价预测的研究较多地放在对市场收益率的预测研究上几乎都是从股票的历史收益或其他基于股票本身派生出来的变量来预测股票走势使超额利润的获

该论文关于教育,经融,证券,理工,建筑,道路,桥梁,公路,机械。经人工挑选。适合大学毕业生论文写作。

取具有可能性来说明市场是无效率的有关相关性方面的研究文献很多但是有关从错位相关性方面来预测股价走势的研究文献目前网上尚未发现

相关分析原理相关关系是指现象变量之间存在不严格的、非确定型的依存关系即一个现象的数量发生变化时另一个现象的数量也发生变化他们之间数量上存在着相互依存的关系

错位相关性指的是原本同期的两列数据错开n（整

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

等差等比数列综合应用

二. 重点、难点

1. 等差等比数列综合题

2. 数列与其它章节知识综合 3. 数列应用题

【典型例题】

[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为a?d,a,a?d

2??(a?d)?(a?d)?(a?4)∴ ? 2??(a?d)(a?d?32)?a222??a?d?a?8a?16(1)∴ ?2 22??(a?d)?32(a?d)?a(2)∴ a?8a?16?32?32d?a

222?3a?4d?0代入（1）

1?d2??8?(4d?2)?16

33d2?32d?64?0 (3d?8)(d?8)?0 826 a? 3921050∴ 此三数为2、16、18或、?、

999① d?8 a?10 ② d?

q?(0,1)，[例2] 等差数列{an}中，a1??393，b1?2，a2?a3??768，{bn}是等比数列，

{bn}所有项和为20，求：

（1）求an,bn （2）解不等式

am?1???a2m??160b2

m?1解：（1）∵ 2

数列专题复习

一、等差数列的有关概念：

1、等差数列的判断方法：定义法an 1 an d(d为常数）或an 1 an an an 1(n 2)。

a1 a2 an

n

如设{an}是等差数列，求证：以bn=等差数列。

n N*为通项公式的数列{bn}为

2、等差数列的通项：an a1 (n 1)d或an am (n m)d。

如(1)等差数列{an}中，a10 30，a20 50，则通项an 2n 10）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

83

d 3）

3、等差数列的前n和：Sn

n(a1 an)

2

12

，Sn na1

*

n(n 1)

232

d。

如（1）数列 {an}中，an an 1 (n 2,n N)，an ，前n项和Sn

152

，

则a1＝ ＿，n＝＿（答：a1 3，n 10）；

2

（2）已知数列 {an}的前n项和Sn 12n n，求数列{|an|}的前n项和Tn（答：

2*

12n n(n 6,n N)

）. Tn

2* n 12n 72(n 6,n N)

4、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A

a b2

。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个