四阶范德蒙德行列式

范德蒙德行列式的几点应用

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用

我们知道，n阶范德蒙德行列式

1x1

Vn

1x2

1xn

x12 x1n 1

2n 1x2 x2

1≤j i≤n

x x ，

i

j

2n 1xn xn

当这些xi两两互异时，Vn 0．这个事实有助于我们理解不少结果．

例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．

证 设f x a0 a1x a2x anx有n 1个互异的零点x1,x2, ,xn 1，则有

2

n

f xi a0 a1xi a2xi2 anxin 0，1 ≤ i ≤ n 1．

即

a0 x1a1 x12a2 x1nan 0,

2n

a0 x2a2 x2a2 x2an 0,

a xa x2a xna 0.

n 1n 0n 1nn 12

这个关于a0,a1, ,an的齐次线性方程组的系数行列式

x1x2

x12

2

x2

x1n

nx2

1≤j i≤n 1

x x 0，

i

j

xn 1

2nxn xn 1 1

因此a0 a1 a2 an 0．这个矛盾表明f x 至多有n个互异根．

例2 设a1,a2, ,an是n个两两互异的数．证明对任意n个数b1,b2, ,bn，存在惟一的次数小于n的多项式L x ：

L x bi

i 1

j i

n

x a

范德蒙德行列式的几点应用

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用

我们知道，n阶范德蒙德行列式

1x1

Vn

1x2

1xn

x12 x1n 1

2n 1x2 x2

1≤j i≤n

x x ，

i

j

2n 1xn xn

当这些xi两两互异时，Vn 0．这个事实有助于我们理解不少结果．

例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．

证 设f x a0 a1x a2x anx有n 1个互异的零点x1,x2, ,xn 1，则有

2

n

f xi a0 a1xi a2xi2 anxin 0，1 ≤ i ≤ n 1．

即

a0 x1a1 x12a2 x1nan 0,

2n

a0 x2a2 x2a2 x2an 0,

a xa x2a xna 0.

n 1n 0n 1nn 12

这个关于a0,a1, ,an的齐次线性方程组的系数行列式

x1x2

x12

2

x2

x1n

nx2

1≤j i≤n 1

x x 0，

i

j

xn 1

2nxn xn 1 1

因此a0 a1 a2 an 0．这个矛盾表明f x 至多有n个互异根．

例2 设a1,a2, ,an是n个两两互异的数．证明对任意n个数b1,b2, ,bn，存在惟一的次数小于n的多项式L x ：

L x bi

i 1

j i

n

x a

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2

9.3 二阶行列式

一、新课引入：

问题1：解二元一次方程组：（*）??a1x?b1y?c1

?a2x?b2y?c2同加减消元法：①×b2-②×b1得?a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1 ②×a1-①×a2得?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 当?a1b2?a2b1??0，方程组有唯一解

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ??y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?

二、新课讲授 1、二阶行列式 （1）定义：我们用记号

a1b1a2b2表示算式a1b2?a2b1,即

a1b1a2b2 = a1b2?a2b1,

其中记号教育网

a1b1a2b2叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。21世纪（2）展开式：a1b2?a2b1,叫做行列式

a1b1a2b2b1的展开式，其计算结果叫做行列式的值。

（3）元素：a1,b2,a2,b1,叫做行列式

2、二阶行列式的计算

a1a2b2的元素。

a1三角形法则：

b1实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二

a2b2阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)

上两个元素的乘

9.3 二阶行列式

一、新课引入：

问题1：解二元一次方程组：（*）??a1x?b1y?c1

?a2x?b2y?c2同加减消元法：①×b2-②×b1得?a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1 ②×a1-①×a2得?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 当?a1b2?a2b1??0，方程组有唯一解

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ??y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?

二、新课讲授 1、二阶行列式 （1）定义：我们用记号

a1b1a2b2表示算式a1b2?a2b1,即

a1b1a2b2 = a1b2?a2b1,

其中记号教育网

a1b1a2b2叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。21世纪（2）展开式：a1b2?a2b1,叫做行列式

a1b1a2b2b1的展开式，其计算结果叫做行列式的值。

（3）元素：a1,b2,a2,b1,叫做行列式

2、二阶行列式的计算

a1a2b2的元素。

a1三角形法则：

b1实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二

a2b2阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)

上两个元素的乘

线性代数

第一章

行列式

行列式是一个重要的工 具，它在数学的各个领 域及其它各学科都有着 广泛的应用

内容提要§1 §2 §3 §4 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行(列)展开 克拉默法则

§1● ● ●

n阶行列式的定义二阶与三阶行列式 排列与逆序 n阶行列式的定义

一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组 由消元法，得

a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2

(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21

当 a11a22 a12a21 0 时，该方程组有唯一解

b1a22 a12b2 x1 a11a22 a12a21

a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12a21

二元线性方程组

a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.

课题1 二阶与三阶行列式；全排列及其逆序数；n 阶行列式的定义；对换.

1、二阶行列式

ax?ax?b?1111212?把二元线性方程组（1）

ax?ax?b?2212212的四个系数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列的数表

aa1211（2）aa2212aa?aa称为

数表（2其运算表达式）的二阶行列式，21221112记为aa

1112D?aa?aa? 3 （）

21111222aa2122a(i?1,2;j?1,2)称为行列式（31理解：（）数）的元素ij j?1,2)a(i?1,2;）的元素可表为或元，即行列式（3，ij iia j行的第3元素为列标。）位于该行列式（其中为行标，ij j),(ij元.

第列或称为行列式（3）的第aaaa的联的联线称为主对角线，）把（2到到21122211线称为副对角线，二阶行列式等于各

元素主对角线之积减去副对角线各元素之积.

（3）行列式表示按某种法则运算的结果.

利用行列式的概念，二元线性方程组（1）的求解过程- 3 - / 7 可写为

aaabab1121111112?D?D?D?0. ，，

21bbaaaa2222122222DD21?xx?.

所以，21DD1. 例自学P2、三阶行列式2 9个数排成3行3列

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

201abc111xyx?yx?yx. （1）1?4?1； （2）bca; （3）abc； （4）y?183caba2b2c2x?yxy201解 （1）1?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1)

?183=?24?8?16?4=?4

abc333（2）bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc?3abc?a?b?c

cab

111222222（3）abc?bc?ca?ab?ac?ba?cb?(a?b)(b?c)(c?a)

a2b2c2

xyx?yx?yx?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 （4）yx?yxy?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3

??2(x3?y3)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n?1) 2

第一章 n阶行列式

§1.2 排列及其逆序数

1．排列：n个依次排列的元素．

例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种． 1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243 2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143 3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142 4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互异元素p1,p2,?,pn构成的不同排列有n!种． 解 在n个元素中选取1个 n种取法 在剩余n?1个元素中选取1个 n?1种取法 在剩余n?2个元素中选取1个 n?2种取法 ?????? ???? 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 -----------