随着复利计算频率的增加

(1)复利终值的计算

上节回顾(1)复利终值的计算

S = PV (1+i)n

n

(1+i) 称为复利终值系数记作(s/p,i,n)或 (F/P,i,n)或FVIFi,n (2)复利现值的计算

PV =S×1/(1+i)n=(1+i)-n 1 称为复利现值系数 n (1 i )记作(p/s,i,n)或(P/F,i,n)或PVIFi,n 复利终值与复利现值互为逆运算。

(1)复利终值的计算

(3)年金终值的计算 SA = A×(1 i ) n 1 i

(1 i ) n 1 i

称为年金终值系数，

记为(s/A,i,n)或 (F/A, i, n) 或FVIFAi,n o 偿债基金的计算(已知年金终值SA , 求年金等额款项A) 由 年金终值 SA = A[(1+i)n-1]/i ,可得 n 偿债基金A= SA × i/[(1+i) -1] 式中的i/[(1+i)n-1] 是偿债基金系数， 记为(A/SA,i,n) o 偿债基金系数是年金终值系数的倒数 。

(1)复利终值的计算

(4)年金现值计算1 (1 i) n PA = A × i1 (1 i ) n 为年金现值系数, i 记作(P

单利、复利、年金计算练习

1、单利的计算

例1： 某人持有一张带息票据，面额2000元，票面利率 5﹪，持票90天，问他可以得到多少利息？ 解：I=2000× 5﹪ ×90∕360=25（元）

例2： 某人希望在5年后从银行取得本利和1000元， 用于支付一笔款项。若在利率为5﹪ ，在单利 方式计算下，此人现在需要存入银行多少钱？ 解：P=1000×1∕（1+ 5﹪ ×5）=800（元）

例3： 某人将1000元存入银行，定期3年，年利率10﹪， 3年期满，按复利计算，问他可以从银行得到多少元？ 解：F5 =1000× （1+ 10﹪ ）=1000 ×(F∕P， 10﹪，3) =1000×1.331=1331（元）

例4： 某人有资金1000元，拟存入银行，在复利10﹪计息 的条件下，经过多少年可以使他的资金增加一倍？ 解：2000 =1000×（1+ 10﹪ ）= 1000× (F∕P， 10﹪，n) 2=（1+ 10﹪ ）

查表可知：需要7年多的时间。

例5： （复利现值）某企业拟在5年

利息计算中有两种基本方法：单利（simple interest）与复利（compound interest）。

式中，C为利息额（I），P为本金（PV），r为利息率（i），n为借贷期限（期數），

S为本金和利息之和，简称本利和=未來价值（FV）。

《单利计算公式》

1：C利息总额 = P母金×r利率×n期数

更正版1：I利息总额 = PV（現在价值）母金×i利率×n期数

2：S本利和 = P母金×（1+r利率×n期数）

更正版2：FV（未來价值）本利和 = PV母金×（1 + i利率× n期数）

单利的特点，是对已过计息日而不提取的利息不计利息，

《复利计算公式》

1： S = P母金×（1+r利率）n次方

FV算法版 1：FV（未來价值） = PV 母金×（1+r利率）n次方

FV查表版 1：FV = PV × FVIF（i，n）（利率，期数）

PV算法版 1：PV = FV /（1+i）n次方 = FV × { 1/（1+i）n次方 }

PV查表版 1：PV = FV × PVIF（i，n）（利率，期数）

2： C利息額 = S本利和

复利法中实际利率的计算

【摘要】工程经济课程中时间的等值计算经常用到实际利率。每年计息次数越多，实际收益越大。有些学生对此刨根问底，随着计息期的缩短计息次数的增加，年有效利率会一直增大吗？本文利用高等数学方法对此问题进行了推导证明给出定性结论，并用数字举例说明了收益的界限。以本文飨于好学的学生与各位同仁。

【关键词】名义利率实际利率

在复利法计算中，一般采用年利率。但年利率的实际计息周期可能等于一年，也可能小于一年。若实际计息周期是一年，这种年利率即为实际利率；若实际计息周期小于一年（如一月或三月、半年），则这种年利率称为名义利率或虚利率，经过计算后得到的才是年有效利率。

设名义利率为r，在一年中计息m次，则每期之利率为r/m。假若年初借款P元，一年计息m次，一年后的本利和为：

其中利息部分应为本利和与本金之差额F—P，即

又根据利率之定义，单位时间内利息与本金之比为利率。故当名义利率为r时，实际利率由下式求得：

假定名义利率r=12%，计算出几个时间的年实际利率列表如下：

从表中计算数据可以看出：当m=1时，实际利率i等于名义利率r；当m＞1时，实际利率i＞r；而且m越大，二者差距也越大。

这几个点的数据特点能否代表实际特征？通过列举法计算只能显示特殊性难以

复利现值系数 复利现值系数是复利终值的对称概念，指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值，或者说是为取得将来一定复利现值系数本利和现在所需要的本金。

计算方法

复利现值是指未来发生的一笔收付款其现在的价值。例：若年利率为10%，从第1年到第3年，各年年末的1元，其现在的价值 计算如下：

1年后1元的现值=1/（1+10%）=0.909(元）

2年后1元的现值=1/（1+10%）（1+10%）=0.82(元）

3年后1元的现值=1/（1+10%）（1+10%）（1+10%）=0.751（元）

复利现值的计算公式为：P=F*1/(1+i)^n其中的1/(1+i)^n就是复利现值系数。记作（P/F，i,n）.其中i是利率（折现率），n是年数。根据这两个条件就可以查到具体对应的复利现值系数了。

或者：P=S×(1十i)-n

上式中的(1十i)-n是把终值折算为现值的系数，称复利现值系数，或称1元的复利现值，用符号(P/S，i，n)夹表示。例如，(P/S，10%，5)表示利率为10%时5期的复利现值系数。为了便于计算，可编制“复利现值系数表”(见本书附表二)。该表的使用方法与“复利终值系数表”相同。

例：某人拟在5年后获得本利和10000元，假设投资报酬率

关于A银行贷款罚息、复利计算可能存在缺陷的报告

——以“A银行C市分行S县支行诉关XX金融借款合同纠纷案”为例

利息、罚息及复利在银行业中占据极其重要的位臵，可谓银行的生命源泉。以国家相关法律法规的规定为计收依据，正确计收银行贷款利息、罚息及复利有重大意义：一方面，对银行而言，可以维护发放贷款而收取相应利息、罚息及复利的合法权益，依法受到法律法规的保护；另一方面，若因贷款合同产生纠纷诉诸法院后，当债务人就利息、罚息及复利提出异议时，可以避免银行权益不受保护甚至败诉的风险。从A银行与部分债务人的多起《……贷款合同》纠纷案件中，我们发现A银行在计收罚息、复利的问题上可能出现如下缺陷：

（一）逾期日起算的缺陷：

以“A银行四川省分行某支行诉关XX《小额联保贷款合同》纠纷案”为例，A银行对逾期日的起算如下：

“第1期： 2009年7月6日应还款9057元（包含本金7752元、利息1305元），当月归还部分利息233.19元，当期本金7752元及当期利息（1305－233.19＝1071.81）元未还，逾期31天”

事实上，根据银行会计结算相关规定以及贷款合同的约定，本案2009年7月6日是贷款第一期的结息日，也是第一期本金利息的还款日，因而从放款日

最高院民一庭于蒙法官授权本公号独家解读：

如何理解民间借贷解释第28条“关于复利的计算”

2015年09月02日来源：法语峰言作者：查看：8732次

第二十八条：借贷双方对前期借款本息结算后将利息计入后期借款本金并重新出具债权凭证，如果前期利率没有超过年利率24%，重新出具的债权凭证载明的金额可认定为后期借款本金;超过部分的利息不能计入后期借款本金。约定的利率超过年利率24%，当事人主张超过部分的利息不能计入后期借款本金的，人民法院应予支持。

按前款计算，借款人在借款期间届满后应当支付的本息之和，不能超过最初借款本金与以最初借款本金为基数，以年利率24%计算的整个借款期间的利息之和。出借人请求借款人支付超过部分的，人民法院不予支持。

一、重新出具债权凭证的性质的认定

在民间借贷关系中，双方当事人约定复利的形式多样，有直接写明计收复利的，也有

采取比较隐蔽的方式、不出现复利字样的，如只写本金不写利息，或者每满一个计息周期就将利息计入本金、重新出具欠条等债权凭证。试举例说明：

例1：甲向乙出借10万元，约定借期1年，年利率20%。1年后借款到期，乙本应向甲偿还本息共计人民币12万元。但结算当天乙未立即清偿本息，而是重新书写了一张

工业增加值计算表格

工 业 增 加 值 计 算 表单位名称： 项 目 200 年 月份止 本月止累计 (万元) 文 号：国统函[2004]173号 表 号：慈 工 企 定 基3表 备 注

行 次 1 2=3+ +7 3 4 5 6 7 8(≥0)

一、工业总产值(现行价) 二、中间投入 1.直接材料 2.制造费用中的中间投入 3.营业费用中的中间投入 4.管理费用中的中间投入 5.利 息 支 出 (不包括直接支付给个人) 三、应交增值税

中间投入包括外购材料、外购燃料、外购动力 的消耗以及向外单位支付的运输费、邮电费、修 理费、仓储费、利息支出、保险费、职工教育等 各种服务费。中间投入按不含增值税的计算，目 前的会计资料中均不包括增值税进项税额，因此 中间投入可以直接利用会计资料计算。 该指标可根据会计科目归纳填列。主要有以下 几个项目： ①直接材料：包括企业生产经营过程中实际消 耗的原材料、辅助材料、备用配件、外购半成品 、燃料、动力、包装物以及其他直接材料。可从 会计上产品的成本项目中的“直接材料”项取得 。不含烧油特别税。 ②制造费用的中间投入：包括修理费、机物料 消耗、低值易耗品、取暖费、水电费、办公费、 运输费、试验检验费

利率与现值

利率和现值是金融的两个基本概念，和投资、理财紧密相关。利率表明了资产增值的速度，现值表明了未来的资产在当前的价值，知道这两个概念及一些金融产品，可以解决很多实际问题。本文的主要内容来自罗斯著《公司理财》。

一、利率

（一）到期收益。金融学是研究跨期配置稀缺资源的经济学科，金融资产是能带来未来收益的物品，比如一年定期存款，当前的基准利率是3.25%，也就是说现在存100元的一年定期，明年这个时候就能获得100*（1+3.25%）=103.25元。再比如某个两年期债券，现在的价格是900元，两年到期时，能卖到1000元，那么它的到期收益利率就是（1000/900）- 1 = 11.11%。

（二）复利。复利就是已获得的利息也能获得利息。比如一年定期存款，如果到期时再转存一年，那么可以获得103.25 * (1 + 3.25%)= 106.6，也就是100*（1 + 3.25%）^2。如果不按复利计息，则是100 * (1 + 2*3.25%) = 106.5。

（三）计息期限。利率有实际利率和名义利率之分，比如二年期定期存款的基准利率是3.75%，这是个年化名义利率。在今天存1元的二年期定期存款，二年后的这个时候可以获得1+2*3.7

基因频率的计算问题归类例析

关于基因频率的计算问题是常见的一类题型，大体可以分为两类：常染色体上的基因频率计算和X染色体上的基因频率计算。由于X染色体上的基因在Y上没有等位基因，是成单存在的，因此其计算方法与常染色体基因不同，需要特别注意。

一、常染色体上基因频率问题的计算方法

【例1】从某个种群中随机抽出100个个体，测知基因型为AA、Aa和aa的个体分别是30、60和10个。求这对等位基因的基因频率。 解法一：

就这对等位基因来说，每个个体可以看做含有2个基因。那么，这100个个体共有200个基因；其中，A基因有2×30+60=120个，a基因有2×10+60=80个。于是，在这个种群中： A期因的基因频率为：120÷200=60% a基因的基因频率为：80÷200=40% 解法二：

由题意可知，AA、Aa和aa的基因型频率分别是30%、60%和10%由基因型频率求得：

A期因的基因频率为：30%+60%×50%=60% a基因的基因频率为：10%+60%×50%=40% 【规律】由基因型频率来计算基因频率

A的基因频率=（AA的基因型频率+1/2Aa的基因型频率） a的基因频率=（aa的基因型