圆锥曲线中的蝴蝶定理的推广

圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

金荣生（上海市市北中学 200071）

2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =. 证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E .

若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.

若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （

，

p

）

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Q

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x k x x x x x k x k y CE +-?--=,1321

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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

金荣生（上海市市北中学 200071）

2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =. 证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E .

若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.

若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （

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x2y2+=1的左、右焦点. 1、设F1、F2分别是椭圆54（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？

若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

2、已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l:x?1,P为该平面上一动点，作PQ?l，垂足为Q，且(PC?2PQ)(PC?2PQ)?0.

（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；

（2）设直线l:y?kx?1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使

得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.

???????????? 1

x2?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而3、已知椭圆C1的方程为4C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C2的方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2

的两个交点A和B满足OA?OB?6（其中O为原点），求k的取值范围.

4、已知圆

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

§14.4 圆锥曲线的应用

预备知识

直线的相关知识

圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等

重 点

难 点

学习要求

直线与圆锥曲线的相交 圆锥曲线的相交 平面曲线与圆锥曲线相交问题的解决办法

发现实际问题中圆锥曲线的应用，并能用圆锥曲线的知识予以解决

能解决有关平面曲线与圆锥曲线关系的简单问题 注意利用图形分析问题并将“形”与“数”结合起来

了解圆锥曲线在实际问题中的应用，并能解决其在实际中的

简单应用问题

能综合运用数学知识，将实际问题转化为数学问题

62

圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活的各个领域，有非常广泛的应用．本节将对这些应用作一个初步的介绍，范围涉及直线和圆锥曲线的综合问题及一些简单的实际应用．

1. 直线和圆锥曲线相交问题

x2y2例1 如图14-15，椭圆??1的焦点分别是F1和F2，过中心O作

4520直线与椭圆相交于A、B两点，若?ABF2的面积是20，求直线AB的

校选课《数学文化》课程论文

一 蝴蝶定理的证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何

方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU?AD，OV?BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于

?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?

得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM，?MOF??MVC

??MV又?MAD??MCB，U、V为AD、BC的中点，从而?MUA，

?AUM??MVC

则 ?EOM??MOF，于是ME=MF。[1]

证法2 过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则

?FMD'??EMD，MD=MD' ○1

联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即

PC'?CQ。又

111?CFP=（QB+PC）=（QB+CC'+CQ）=BC'=?BD'C'

222故M、F、B、D'四点共圆，即?MBF??MD'F

而

我花了很多时间修改格式和内容，请你在这篇文章的基础上做改动。 文章结构基本合理，第二部分的内容显得十分单薄，看能否再加上一些内容，使其更加丰富；

我已经修改了中文摘要和关键词，请你将其翻译成英文的； 参考文献的格式不对，一一对照修改。

参考文献在文中的引用没有体现出来：参考文献在文中出现的地方用上标

予以标明，序号用加方括号的阿拉伯数字表示（如[1][2][3]），列于正文文末。如，定理1??完毕[3].参考文献的每个标号在文中至少（只需）出现1次，出现顺序必须是[1][2][3]?，如需帮助请呼组长

我对格式做了很大的调整，还有一些需要你自己完成：

文中的以字母表示的点，数据等等数学表达式，全部在数学公式编辑器中完成，但是文字不能在数学公式编辑器中编辑；

在公式编辑器中的字母的格式F是错的，应该改为F，将其选中后在样式中再点击一次“数字”，格式就对了！ 小括号不用公式编辑器中的模版??，直接在键盘上输()；中括号即闭区间符号

也不用公式编辑器中模版??，也直接在键盘上输[]；否则打印出来的效果很怪异，一眼就被检查人员看出来了；区间括号中的逗号,,改为，改不来就把这个，复制过去；

我已经修改了一部分，实在是太多，没有时间帮你了，你自己再一一对照

圆锥曲线参数方程的应用

课题 ：圆锥曲线参数方程的应用 圆锥曲线参数方程的应用授课人：马鞍山二中 陈昌富

提 出 宝 贵 意 见

欢 迎 光 临 指 导

圆锥曲线参数方程的应用

复习提问： 回答下列曲线的参数方程(1)圆：(x-x0)2+(y-y0)2= r2 x = x 0 + r cos θ y = y 0 + r sin θ

(θ为参数)

x = a cos θ y = b sin θ

x2 y2 (2)椭圆： 2 + 2 = 1, (a > b > 0) a b x2 y2 (3)双曲线：2 b2 = 1, (a > 0, b > 0) a

x = a sec θ y = btgθ x = 2 pt 2 y = 2 pt

(4)抛物线：y2= 2px (p>0)

圆锥曲线参数方程的应用

例1、已知P(x,y)在椭圆 2 2 x y + = 1 上。求u=2x-y的最大值 4 9 解 设P(2cos θ ,3sinθ)(0≤θ<2 π ) 是椭圆上的点。 则 u=4cos θ -3sin θ= 5sin( - θ )。 4 π 其中 = arctg 显然 - θ=2kπ+ k∈

一、圆锥曲线的中点弦问题：

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以

为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为

中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的

弦所在直线的斜率k=

。比如：

①如果椭圆是 （答：

弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程

）；

②已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中

点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：

）；

③试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对

称（答：

）；

特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、

！

对称问题时，务必别忘了检验

二 圆锥曲线的几何性质：你了解下列结论吗？

（1）双曲线

的渐近线方程为

；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为

为参数，≠0）。

如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答：

）

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相

应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛