高等数学直线方程的五种形式

§7.8 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量、直线的对称式方程、直线的参数方程

三、两直线的夹角两直线的夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直的条件

四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角、夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件

五、杂例平面束

一、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线. 如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 A 1x B 1y C 1z D 1 0和A 2x B 2y C 2z D 2 0, z 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.

1L

2

反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组.因此， 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程. x O y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. z s

O x

y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线

§7.8 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量、直线的对称式方程、直线的参数方程

三、两直线的夹角两直线的夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直的条件

四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角、夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件

五、杂例平面束

一、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线. 如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 A 1x B 1y C 1z D 1 0和A 2x B 2y C 2z D 2 0, z 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.

1L

2

反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组.因此， 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程. x O y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. z s

O x

y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线

第十二章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y?=2-xy B.(x-2y)y?=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy

2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y?= A.dy?dx1写成以

2x?yy为自变量，x为函数的形式为（ ）

1 C. x?=2x-y D. y?=2x-y 2x?y12x?y B.dx?dy§2 可分离变量的微分方程

1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成

dxQ(x,y)?? dyP(x,y)2、方程xy?-ylny=0的通解为（ ）

A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=e

章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2 教 学 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法 目 的 教学 重点 及 突出 方法 可分离变量微分方程的解法 教学 难点 及 突破 方法 可分离变量微分方程的解法 相关 参考 资料

《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 7.1 微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出

章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2 教 学 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法 目 的 教学 重点 及 突出 方法 可分离变量微分方程的解法 教学 难点 及 突破 方法 可分离变量微分方程的解法 相关 参考 资料

《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 7.1 微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出

AnnalsofMathematics,157(2003),919–938

LargeRiemannianmanifolds

whichare exible

ByA.N.Dranishnikov,StevenC.Ferry,andShmuelWeinberger*

Abstract

Foreachk∈Z,weconstructauniformlycontractiblemetriconEuclideanspacewhichisnotmodkhypereuclidean.WealsoconstructapairofuniformlycontractibleRiemannianmetricsonRn,n≥11,sothattheresultingmani-foldsZandZ areboundedhomotopyequivalentbyahomotopyequivalencewhichisnotboundedlyclosetoahomeomorphism.Weshowthatfortheself(Z)→K (C (Z))fromlocally -spacestheC -algebraassemblymapK

niteK-homologytotheK-th

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dy

p(x)Q(y)dx

(Q(y) 0) 2、齐次方程：

dy dx

y f x

三、一阶线性方程及其推广

1、

dydy

P(x)y Q(x) 2、 P(x)y Q(x)y dxdx

( 0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足

Q P

x y

2、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三） （乙）典型例题 例1、求y x

2

2

Q p (RQ) (RP)

但存在R(x,y)，使 x y x y

dydy

xy的通解。 dxdx

解：y (x xy)

22

dy

0dx

y

dyy2 x dxxy x2 y

1 x

2

yduu2

令 u,则u x udx x(1 u)du 0

xdxu 11 udx

du u x C1 ln|xu| u C1

xu e

例2

C1 u

ce, y

编号：

《高等数学（一）》课 程 自 学 辅 导 材 料 配套教材： 《高等数学（一）微积分》 主 编： 章学诚 出 版 社： 武汉大学出版社 版 次： 2004年版 适应层次： 本 科 内 部 使 用 2012年9月 ●●●●●

目 录 第一部分 自学指导 第1章：函数及其图形…………………………………………………………………3 第2章：极限和连续……………………………………………………………………3 第3章：一元函数的导数和微分………………………………………………………3 第4章：微分中值定理和导数的应用…………………………………………………3 第5章：一元函数积分学………………………………………………………………3 第6章：多元函数微积分………………………………………………………………3 第二部分 复习思考题 一．单选题 ……………………………………………………………………………4 二．填空题 ……………………………………………………………………………24 三．计算题 ………………………

教育资源

高一数学（2019级）导学案

课型：新授课 编制人： 年级主任： 班级： 姓名： 编号：055 2.2.2 直线方程的几种形式（1） 一、学习目标 1、掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素． 2、会求直线的点斜式方程与斜截式方程． 3、了解斜截式与一次函数的关系． 二、基础知识 1、直线的点斜式方程和斜截式方程 名称 已知条件 点 斜 式 斜 截 式 点P(x0，y0) 和斜率k 斜率k和在y 轴上的截距b ________ 存在 斜率 示意图 方程 ________ ________ 使用范围 斜率 存在 2、对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， (1)l1∥l2?________________________；(2)l1⊥l2?________________． 三、基础自测： 1、方程y＝k(x－2)表示( ) A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线 C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 2、已知直线的倾

df(x)dx 与 dx解 不相等.设F?(x)?f(x),则

例1 (E01) 问

????f?(x)dx是否相等?

d??f(x)dx??dx(F(x)?C)?F?(x)?0?f(x)

d而由不定积分定义?f?(x)dx?f(x)?C，所以??f(x)dx???f?(x)dx.

dxddx例3 (E03) 检验下列不定积分的正确性：

（1）xcosxdx?xsinx?C；（2）xcosxdx?xsinx?cosx?C; 解 （1）错误. 因为对等式的右端求导，其导函数不是被积函数：

???xsinx?C???xcosx?sinx?0?xcosx.

（2）正确. 因为

?xsinx?cosx?C???xcosx?sinx?sinx?0?xcosx.

1．填空题

（1）若f(x)的一个原函数为lnx2，则f(x)? 。 解：因为?f(x)dx?lnx2?c 所以f(x)?2x2? x2x（2）若?f(x)dx?sin2x?c，则f(x)? ． 解：f(x)?2cos2x

（3）若?f(x)dx?xlnx?c，则f?(x)? ． 解：f(x)?lnx?1，f?(x)?（4）d?e?xd