线性二次型最优控制器

现代控制理论基础讲义 第五章 极点配置与观测器设计

Chapter7 线性二次型最优控制

稳定性是控制系统的一个重要指标，还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能，然而并没有考虑控制的能量代价。用Lyapunov稳定性理论解决“参数优化问题”，通过选取一个适当的参数，可以在保证系统稳定的前提下，使二次型性能指标最小化，从而使系统的过渡过程具有较好的性能，有必要将这种方法推广到控制器设计。

7.1 二次型最优控制

在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案（如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），具有最小能量的控制方式更具实际意义。对于

??Ax?Bu y?Cx （7-1） x系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述： J??[xTQx?uTRu]dt （7-2）

0?Q是对称正定（半正定）加权矩阵，R是对称正

连续线性二次型最优控制的MATLAB实现

1.绪 论

最优控制问题就是在一切可能的控制方案中寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。随着航海、航天、导航和控制技术不断深入研究，系统的最优化问题已成为一个重要的问题。

本文介绍了最优控制的基本原理，并给定了一个具体的连续线性二次型控制系统，利用MATLAB软件对其最优控制矩阵进行了求解，通过仿真实验，设计得到最优控制效果比较好，达到了设计的目的。

2.最优控制理论介绍

2.1最优控制问题 设系统状态方程为：

x(t)?fx(t),u(t),t?,x(t0)?x0 （2—1）

?式中，x(t)是n维状态向量；u(t)是r维控制向量；n维向量函数f?x(t),u(t),t?是x(t)、u(t)和t的连续函数，且对x(t)与t连续可微；u(t)在?t0,tf?上分段连续。所谓最优控制问题，就是要寻求最优控制函数，使得系统状态x(t)从已知初态x转移到要求的终态x(tf)，在满足如下约束条件下： （1）控制与状态的不等式约束

g?x(t),u(t),t??0 （2—2）

0（2）终端状态的等式约束

M?x

振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究

第4 3卷第 3期 20 0 9年 3月

J u n 1 f h j大学 i ( n报 e igS i) ) o浙江 i g Unv r t gn ( c n e r a o a ies学E i r Ze n y e工学版 n ec

V l 3 o3 o_ . 4NM a. 2 O r O 9

D0I O 3 8/.sn 1 O— 7 X. O 9 O . O :1 . 7 5 j is . O 8 9 3 2 0 . 3 O 4

振动主动控制中线性

型最优控制问题研究

魏燕定，娄军强，吕永桂，陈子辰(江大学浙江省先进制造技术重点研究实验室，体传动与控制国家重点实验室，江杭州 3o 2 )浙流浙 1 O 7

摘要：针对空间柔性构件的特点，究了一类由柔性杆、感器、电扭转致动器组成的柔性杆系统的扭转振动 .研传压运用拉格朗日方程和假设模态法建立了系统的动力学方程，用线性二次型最优控制对柔性杆的扭转振动进行了主动采控制 .二次型指标中的加权矩阵的选择方法进行了深入探讨，出一种基于遗传算法并带约束条件的加权矩阵的对提选择方法.数值仿真结果表明，提出的加权矩阵的选择策略是有效的，控后系统的扭转振动能得到有效衰

振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究

第4 3卷第 3期 20 0 9年 3月

J u n 1 f h j大学 i ( n报 e igS i) ) o浙江 i g Unv r t gn ( c n e r a o a ies学E i r Ze n y e工学版 n ec

V l 3 o3 o_ . 4NM a. 2 O r O 9

D0I O 3 8/.sn 1 O— 7 X. O 9 O . O :1 . 7 5 j is . O 8 9 3 2 0 . 3 O 4

振动主动控制中线性

型最优控制问题研究

魏燕定，娄军强，吕永桂，陈子辰(江大学浙江省先进制造技术重点研究实验室，体传动与控制国家重点实验室，江杭州 3o 2 )浙流浙 1 O 7

摘要：针对空间柔性构件的特点，究了一类由柔性杆、感器、电扭转致动器组成的柔性杆系统的扭转振动 .研传压运用拉格朗日方程和假设模态法建立了系统的动力学方程，用线性二次型最优控制对柔性杆的扭转振动进行了主动采控制 .二次型指标中的加权矩阵的选择方法进行了深入探讨，出一种基于遗传算法并带约束条件的加权矩阵的对提选择方法.数值仿真结果表明，提出的加权矩阵的选择策略是有效的，控后系统的扭转振动能得到有效衰

控制工程课程设计

线性二次型最优控制器设计

（一阶倒立摆）

设计者： 班 级： 学 号： 指导教师：

控制工程课程设计

线性二次型最优一阶倒立摆控制器设计

摘要：本文针对单级倒立摆系统的平衡控制问题进行了研究。倒立摆控制是一个

经典的控制平衡课题。作为一个自然不稳定系统，倒立摆一直被用作实时控制系统实验的控制设备。倒立摆的稳定控制相当困难，通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，而且在控制过程中可以有效反映控制中的关键问题。首先建立倒立摆的模型，然后进行模型验证，通过分析模型的性能，进行线性二次型最优控制器的设计，用Matlab进行仿真，通过一次次的修改参数来达到良好的性能要求。

关键词：线性二次型 倒立摆 仿真

Abstract: In this article, single-stage inverted pendulum control problem of the balance of the study. Control of inverted pendulum is a classic control subjects balance. As a naturally unstable system，inverted pendulum

目录

第一章 变分法

1.1 变分法的定义和定理

1.2 泛函与变分 1.3 欧拉方程 1.4 横截条件

1.5泛函的局部极值

1.6变分法求解最有控制问题

第二章 极值原理

2.1 极值原理

2.1.1积分型最优控制问题的最小值原理 2.1.2积分型最优控制问题的最大值原理

2.1.3有关最大值原理（或最小值原理）的几点说明 2.2 最小值原理的几种具体形式

第三章 动态规划及其在时间最短控制问题

3.1 多级决策问题

3.2 离散动态规则 3.3 连续动态规则

3.4 变分法、最大值原理与动态规划

第四章 线性二次型最优控制问题

4.1 线性二次型问题

4.2 有限时间的状态调节器问题 4.3 无限时间的状态调节器问题 4.4 输出调节器问题 4.5 跟踪问题

4.6线性二次型实验及仿真结果 4.7倒立摆最优控制

摘要：本文主要阐述了关于最优控制问题的基本概念及其应用问题。最优控制理

应用最优控制答案

【篇一：最优控制的应用概述】

1.引言

最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（r.e.bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼（kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计

目录

第一章 变分法

1.1 变分法的定义和定理

1.2 泛函与变分 1.3 欧拉方程 1.4 横截条件

1.5泛函的局部极值

1.6变分法求解最有控制问题

第二章 极值原理

2.1 极值原理

2.1.1积分型最优控制问题的最小值原理 2.1.2积分型最优控制问题的最大值原理

2.1.3有关最大值原理（或最小值原理）的几点说明 2.2 最小值原理的几种具体形式

第三章 动态规划及其在时间最短控制问题

3.1 多级决策问题

3.2 离散动态规则 3.3 连续动态规则

3.4 变分法、最大值原理与动态规划

第四章 线性二次型最优控制问题

4.1 线性二次型问题

4.2 有限时间的状态调节器问题 4.3 无限时间的状态调节器问题 4.4 输出调节器问题 4.5 跟踪问题

4.6线性二次型实验及仿真结果 4.7倒立摆最优控制

摘要：本文主要阐述了关于最优控制问题的基本概念及其应用问题。最优控制理

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文章编号：１００８－０５７０（２００８）１０－１－００７９－０２

控制系统

单级倒立摆系统的数字最优控制器设计与仿真

ＤｅｓｉｇｎａｎｄＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆＤｉｇｉｔａｌＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌｌｅｒｔｏＳｉｎｇｌｅＩｎｖｅｒｔｅｄＰｅｎｄｕｌｕｍＳｙｓｔｅｍ

（１．郑州大学信息与控制研究所；２．郑州大学电气工程学院）

冯冬青

１，２

马军磊

２

周永年

２

ＦＥＮＧＤｏｎｇ－ｑｉｎｇＭＡＪｕｎ－ｌｅｉＺＨＯＵＹｏｎｇ－ｎｉａｎ

摘要：倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题，也因此成为自动控制实验中验证控制算法优劣的极好的实验装置。通过对单级倒立摆系统的简化模型分析，设计了带有积分环节的数字最优控制器。仿真结果表明倒立摆系统在该数字最优控制器的控制作用下，无论是系统的输出还是各个状态变量，都具有较好稳定性和一定的鲁棒性。关键词：单级倒立摆系统；数字最优控制器；系统模型；鲁棒性中图分类号：ＴＰ２７３文献标识码：Ａ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｃｏｎｔｒｏｌｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｏｗｎｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｔｈｅｒｅｆｏｒｅｉｔｉｓａｇｏｏｄｔｅｓｔｉｎｓｔａｌｌａ

最优控制

一、 课程基本情况

课程编号 课程名称 课程类型 课程学时 课程学时分配 课程负责人 教学方式 适用院系所 适用学科 先修课程 课堂讲课 60 李国勇 课程团队 考核方式 课堂讨论 自学交流 郑晟、吕青 ■考试 □考查 ■课堂讲授 □专题讨论 s081106 （中文）最优控制 开课学期 □第一学期 ■第二学期 学分 3 （英文）Optimum Control ■专业基础课 □专业选修课 学时分配 54 6 自动化系、测控所、热能系、化工系 控制科学与工程、动力工程、化学工程与技术 自动控制原理、现代控制理论、过程控制 教 材 李国勇编著.最优控制理论与应用.北京:国防工业出版社,2008.10。 参考书目 [1] 李国勇等编著．最优控制理论及参数优化．北京：国防工业出版社，2006.1。 二、 课程内容简介

主要内容包括为：最优化问题的基本概念、最优控制中的变分法、极大值原理、动态规划和线性二次型最优控制问题。为了培养学生现代化的分析与设计能力，在每一部分都涉及利用MATLAB对其实现的方法，让学生在有限的时间内，掌握最优控制的基本原理与应用技术。

三、 课程教学大纲

第1章 绪论（4