线性微分方程组的一般理论

Review 常系数齐次线性ODE的特征解法x(n)n

+ a1 x

( n 1)

λ + a1λ特征根 重数

n 1

+ L + an 1 x′ + an x = 0

+ L + an 1λ + an = 0.线性无关解 λt

λ (实) λ (实)

1kλt αt

e

e ,te , , t Lαt αt αt

λt

k 1 λt

e

α ± iβ

1k

e cos β t , e sin β t e cos β t , te cos β t ,L , t e cos β t , eα t sin β t , teα t sin β t ,L , t k 1eα t sin β tk 1 α t

α ± iβ

常系数非齐次线性ODE的待定系数法

x ( n ) + a1 x ( n 1) + L + an 1 x′ + an x = f (t ) f (t ) special solution x(t )

q (t )t k eλt , q real polynomial, p (t )e , λ ∈ deg(q ) ≤ deg( p ), p real polynomial, k = multiplicity of λ as an

第!"卷第"期宝鸡文理学院学报#自然科学版$

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常系数线性微分方程组的一种解法

杨继明

玉溪师范学院数学系A云南玉溪B#C+"**$

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摘

要D给出了常系数齐次线性微分方程组初值问题的一个求解公式A并由此推出常系数齐次线性

差分方程组在给定的初始条件下的一个求解公式E

关键词D常系数F线性微分方程F线性差分方程F标准基解矩阵F矩阵的方幂中图分类号D"HC("G

文献标识码D8

文章编号D"**HI"!B"#!**"$*"I**"+I*+

JKLMNOPQRLSLPTUVWVRVQPTQPOUXMLYPUNLK

ZLNL[UWULOSPVWUQM\VKKUMUWRVQP

第五章 线性微分方程组

[教学目标]

1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解

的性质与结构，

2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，

4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时

[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [考核目标]

1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。

§5.1 存在唯一性定理

5.1.1记号和定义 考察形如

??a11(t)x1?a12(t)x2???a1n(t)xn?f1(t)?x1?x??a(t)x?a(t)x???a(t)x?f(t)?22112222nn2

线性方程组有解判定,导出齐次方程组,基础解系

线性代数教师 王耀东 电话63369207 手机15010837966 E-mail wyd@ 答疑地点 理1305M 答疑时间：星期日12:30-14:00 我的百度文库

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线性方程组有解判定,导出齐次方程组,基础解系

§5 线性方程组解的一般理论

一、线性方程组有解判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构

线性方程组有解判定,导出齐次方程组,基础解系

一、线性方程组有解判定定理

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , n aij x j bi ,1 i m. j 1 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm . a11 a12 a1n b1 a11 a12 a1n a a a22 a2 n A 21 a22 a2 n b2 . 21 A

Jordan标准型在求解线性微分方程组的应用

姓名：XX远 学号：20092426 班级：2009121

摘要：该应用在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan标准型，比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。

关键字：Jordan标准型，线性微分方程组，特征值

矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！

矩阵的对角化用处很大，因为对角化后，对矩阵加乘等等运算都可以简单很多，尤其在涉及特征值的方面！但是许多时候矩阵不能对角化。这时候相似变换的最好结果就是Jordan

标准型的形式，因为矩阵的Jordan标准型是最间的！

Jordan标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan标准型，

比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。

论文常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法

摘 要

本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法。由于在讨论常系数线性微分方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复值数函数问题，所以文章首先给予介绍。然后，本文又通过构造特征方程运用代数运算分情况给出常系数齐次线性微分方程的具体解法，并引出可以化为此方程形式的欧拉方程。有了前面讨论的结果，对于常系数非齐次线性微分方程可以采用常数变易法，这里没有具体介绍，而是介绍具有某些特殊形式的非齐次线性微分方程的解法，即比较系数法和拉普拉斯变换法。

关键词：复值函数与复指数函数，齐次线性微分方程，欧拉方程，非齐次线性微分方程，比较系数法，拉普拉斯变换法

The Methods of Solving Linear Differential Equation with Constant Coefficients

This paper describes the methods of solving linear differential equation with constant coefficients. First of all, the paper below will describe complex-va

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

§7矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

1.矩阵函数的性质： 设A.B Cn n 1．

ddte

At

Ae

At

e

At

A

proof: 由 e

At

m 0m!

1

At m

1m!

t

m

A

m

对任何t收敛。因而可以逐项求导。

ddt

e

At

m 0

m 1 !

1

t

m 1

A

m

11m 1 k A At A At k! m 1 m 1 ! 1m 1 At

A At A e A

m 1 m 1 !

A eAt

m 0

m 1 !t

1

m 1

A

m 1

可见，A与eAt使可以交换的，由此可得到如下n个性质

2．设AB BA，则 ①．eAt B BeAt ②．eA eB eB eA eA B ③．

cos A B cosAcosB sinAsinBsin A B sinAcosB cosAsinB

BA AB BA

m

m

A B

cos2A cos

2

A sin

2

A

sin2A 2sinAcosA

proof：①，由AB而e

At

1mm B At B

m 0m!

m 0

1m!

tAB

mm

m 0

1m!

tBA

mm

B

m 0

1m!

At m

B eAt

②令C(t) e A

数学专业线性代数方面的参考书。适用于大学理科专业的高年级学生或相关科研工作者。

倒向随机微分方程理论的一段往事 (2008-07-18 22:04:36)

转载

标签： 分类： 数学江湖

杂谈

转自：/

文章是中国金融数学届的狂牛的老头子：彭实戈写的，在这里转给大家欣

赏。 按：这个文章回顾了倒向随机微分方程理论产生的一段往事，同样是数学上一个让人愉悦的故事。

当年，我和Ｐａｒｄｏｕｘ写的关于倒向随机微分方程简称ＢＳＤＥ 理论的那篇文章发表在一个叫《Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ＣｏｎｔｒｏｌＬｅｔｔｅｒｓ》的“小杂志”上。那是一个“有心栽花花不开，无意插柳柳成荫”的故事。

ＢＳＤＥ的文章发表于１９９０年，而这项研究的实际完成是在１９８９年４月。其时我从法国回来，正在复旦大学做博士后１９８８年开始 。数学系的李训经教授在复旦组织了一个每周一次的控制论讨论班，讨论班的一个重点是随机系统的最优控制问题。当时雍炯敏刚从美国回来，在复旦任副教授，陈叔平在浙大，经常到复旦来参加讨论班。李老师有两个博士生胡瑛和周迅宇我刚到复旦时，周迅宇还在日本Ｎｉｓｉｏ教授那里，大概属于联合培养 ，他们都具备了非常好的概率论和随机分析的基础。我说非常好，是相对于我这个刚从法国著名的

非线性方程和常微分方程的解法

实验8 非线性方程和常微分方程的解法

一、实验目的

学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求

1. 非线性方程的整值解

（1）最小二乘法

格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);

>>xl=fsolve(fc,0)

xl=

0.5671

问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？

先用命令fplot（’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：

>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);

>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)

得出结果：

ans=

0.5918 3.1407 6.2832 9.4248

【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co

浙江省精品课程--高等数学AⅠ教案（同济六版）2013----------宁波工程学院

补讲2 常数变易法、可降阶方程

1、主要教学目标

1、一阶线性微分方程的标准形式及其解法；

2、三种可降阶微分方程的解法；

2、重点内容

1、一阶线性微分方程的解法及解的结构； 2、常数变易法；

3、三种可降阶微分方程的解法。 3、难点分析

1、用变量代换将伯努利方程转化为线性方程并求解； 2、常数变易法、用变量代换法求解微分方程。 4、对教材的处理及其教学提示

微分方程求解重在掌握思想方法，积分运算不宜过难，淡化伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法

5、作业布置P315-1（1）； 2（1）；3； P323-1（1、5、7）；4

一、线性方程

?P(x)dx. 1、通解公式 y?Ce?2、非齐次线性方程的解法----常数变易法

实质: 未知函数的变量代换。新未知函数u(x)?原未知函数y(x),

?P(x)dx?P(x)dxP(x)dx?u(x)[?P(x)]e?, 作变换y?u(x)e?，求导 y??u?(x)e??P(x)dxP(x)dx?Q(x),积分得 u(x)??Q(x)e?将y和y?代入原方程得u?(x)e?dx?C,

3、