考研线性代数知识点总结

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1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用 表示， = n ！

逆序数：对于排列

…

，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

其中： 是1,2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5. 下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式：

副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于

1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用 表示， = n ！

逆序数：对于排列

…

，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

其中： 是1,2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5. 下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式：

副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于

线性代数知识点框架（一）

线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式

2010考研基础班线性代数讲义

第一讲 基本概念

线性代数的主要的基本内容：线性方程组 矩阵 向量 行列式等

一．线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为:

???????=+++=+++=+++,

,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 个数1C ,2C , …, n C 构成,它满足:当每个方程中的 未知数1x 都用1C 替代时都成为等式.

对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况.

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.

???=+=+f ey dx c by ax

如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。

(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.

齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解.

因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

二.矩阵和向量

1.基本

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线性代数知识点

1、行列式

1.

n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； ?ji?j3.

代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)iAijAij?(?1)Mij

4. 设n行列式D：

n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)2D； n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90?，所得行列式为D2，则D2?(?1)2D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n?1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)2；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； n(n?1)④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)2；

⑤、拉普拉斯展开式：

AOCB?ACOB?AB、CABO?OABC?(?1)m?nAB ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

一、方程组

1、设方程组x2x

1 2 0有非零解，则k=（ ）

2x1 kx2 0

A. 2 B. 0 C. 1 D. 4

2、若方程组xx

1 2 0有非零解，则k=（ ）

kx1 x2 0

A. -1 B. 0 C.1

D.2

aaa3、设A=11

1213

a11x1 a12x2 a13x3 0

a21

a22a23 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组 a21x1 a22x2 a23x3 0的解为（ ） a31

a32

a33

a31x1

a32x2 a33x3 0A． 1,1,1 T

B． 0,0,0 T

C． a11,a12,a13

T D．(0,1,0)T

1

22 4、设矩阵A=

2

t3

，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=（ ）

34

5

3x1 kx2 x3 0

5、如果方程组

4x2 x3 0有非零解,则 k=（ ）

4x2 kx3 0A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

6、设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=

线性代数讲义

目录

第一讲 基本概念

线性方程组 矩阵与向量 初等变换和阶梯形矩阵 线性方程组的矩阵消元法 第二讲 行列式

完全展开式 化零降阶法 其它性质 克莱姆法则 第三讲 矩阵

乘法 乘积矩阵的列向量和行向量 矩阵分解 矩阵方程 逆矩阵 伴随矩阵 第四讲 向量组

线性表示 向量组的线性相关性 向量组的极大无关组和秩 矩阵的秩 第五讲 方程组

解的性质 解的情况的判别 基础解系和通解 第六讲 特征向量与特征值 相似与对角化

特征向量与特征值—概念,计算与应用 相似 对角化—判断与实现 附录一 内积 正交矩阵 施密特正交化 实对称矩阵的对角化 第七讲 二次型

二次型及其矩阵 可逆线性变量替换 实对称矩阵的合同 标准化和规范化 惯性指数 正定二次型与正定矩阵

附录二 向量空间及其子空间

附录三 两个线性方程组的解集的关系

附录四 06,07年考题

1

第一讲 基本概念

1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1,