分块矩阵求行列式的方法

浅谈求行列式的方法

【摘要】

行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文归纳行列式的各种计算方法，通过这一方法可以提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。 【关键词】

行列式，范德蒙行列式，数学归纳法，递推法。 引言

行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。本文主要探讨行列式的计算方法以及它的简单应用。而行列式的计算方法并不是唯一的，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，给出了计算行列式的常用方法。

1．定义法：

根据行列式的定义，直接求其值。

a000cd 例： 计算D=

0efg00b0 0h分析：根据定义，D是一个4！=24项的代数和，而每一项是取自不同的行不同的列。因而，在这个行列式里，除了acfh，adeh，bdeg，bcfg，与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。其

十三、算 法 初 步 矩阵 行列式

51。如图所示的程序框图输出的结果是_____________。

6

2.（广东卷）如图的程序框图中，若输入m?4，n?6，则输出a?__________，i?__________。 12 3 【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i?3。

3.（山东卷13）执行右边的程序框图6，若p＝0.8，则输出的n＝ .4

1

4、如图给出的是计算1?1?1???1的值的一个程序框

246100图，其中判断框内应填入的条件是 . i?100

5、若执行右面的程序图的算法，则输出的p=_______。600

6. 如图，该程序运行后输出的结果为（ A．36 B．56 C．55

） D．45 D

7. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值x为5时，

则其输出的结果是 ． 解：当x=-1时,即输出,此时

2

y?0.5?1?2.

8. 按下列程序框图运算：

输入 x 乘以3 减去2 大于24

第十一章 矩阵、行列式与算法初步

基本要求

（1）理解矩阵和行列式的意义（矩阵是一个数表，行列式是表示特殊算式的记号），会用矩阵的记号表示线性方程组。掌握二阶、三阶行列式展开的对角线法则，以及三阶行列式按照某一行（列）展开的方法，知道矩阵相等、矩阵加减、数与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘的意义以及行列式的加法、数乘等运算法则。

（2）掌握二元、三元线性方程组的公式解法（用行列式表示），会对含字母系数的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。

（3）通过对具体问题的过程与步骤的分析，了解算法的含义，体会算法的思想和特点；理解算法的三个主要逻辑结构——顺序结构、条件结构、循环结构；会用程序框图表达简单的算法问题。

11.1 矩阵与行列式

知识梳理 1. 由m?n个数aij?R(i?1,2,?m,j?1,2,?,n)排成的m行、n列的矩形数表叫做

?a11??a21矩阵????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?，其中aij（i?1,2,?m,j?1,2?n）叫做矩阵第i行第j列?????amn??的元素。当行数与列数相等时，称该矩阵为方阵。把对角线元素为1，其余元素均为零的方

矩阵叫做单位矩阵。

2. 通过对线性方程组所

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2

高三数学

教师 学生 课程编号 课题 课型 日期 复习课 秋季班 矩阵行列式算法 教学目标 1. 掌握矩阵行列式算法的基本概念； 2. 会求二元一次线性方程组中相关问题，会计算行列式的值； 3. 会根据行列式判断方程组解得情况； 4. 能够读懂程序框图，并能够得出运算结果。 教学重点 1． 行列式的运算及方程组解得情况的判断； 2． 能够根据程序框图得出运算结果。 教学安排 1 2 3 4

版块 例题解析 巩固训练 师生总结 课后练习

时长 80 30 10 30

矩阵行列式算法

1 / 16

矩阵行列式算法

一、矩阵

1.矩阵的相关定义：

（1）由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为m?n阶矩阵记做Am?n如矩阵??为

，3?1????512128???2?1阶矩阵，可记做A2?1；矩阵?363836?为3?3阶矩阵；

?232128???（2）矩阵中的每一个数字叫做矩阵的元素；

（3）零矩阵：当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵；

（4）方阵：当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵；特别的，若一个n阶方阵从左上角到右下角的对角线上的所有元素均为1，其余

矩阵

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

英国数学家凯莱,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转

计算行列式的若干方法

摘要：行列式是数学分支中一个非常重要的内容，其应用范围非常广泛，而应用行列式理论的前提就是能熟练地掌握行列式的计算方法，这也是整个代数分支的重点和难点。计算行列式有许多种方法，但是往往可以根据所求行列式的特征来选取不同的计算方法，从而提高解题效率。本文列举了一些计算行列式的方法包括定义法、对角线法、化成三角形行列式法、补行列法、降阶法、析因子法、数学软件法，并对不同的计算方法适用于什么情形进行简单总结。

关键词：行列式 定义法 升降阶法 析因子法

Several methods for calculating determinant

Abstract: The determinant in mathematics branch is a very important content. Its application scope is

widespread, but the premise of application determinant theory can grasp the computational method of the determinant skilled. This is also the key

编号：

本科毕业论文（设计）

题目：行列式的计算方法

学 院 数学与计算科学

专 业 信息与计算科学

学 号 200740520129

姓 名 鲁兵兵

指导教师 王先超 职称： 副教授

完成日期 2011.04.07

1

诚 信 承 诺

我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《行列式的计算方法》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担

.

承诺人（签名）：年 月

2

日行列式的计算方法

姓 名 : 鲁兵兵 学 号 : 200740520129 指导老师 :王先超

摘要：行列式是高等代数和线性代数的课程中基本内容，并且其在数学中有着广泛的应用，学会计算行列式对大学学习非常重要，掌握行列式计算技巧，可以达到快速

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21anna12a220n(n?1)2a1n00000?0an1an100an?1,2an20a2,n?1a1na2n?000an10a2,n?100a1n00 0an?1,n?1an?1,nan,n?1ann?(?1)a1na2,n?13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmCn?mBmAnCm?n??AnCm?nAn0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm0m?n?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21?ann?(?1)a12?a1na22??0n(n?1)20000?an2????0a2,n?1?an,n?1a1na2n?an?1,nann?000??000a1n00 0?0???00an10?a2,n?1an?1,2?an?1,n?1an1?a1na2,n?1?an13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmAnCm?nCn?mBm??AnCm?nAn0m?n0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于